Dominerade konvergenssatsen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Dominerade konvergenssatsen förkunnar att om är ett mått på en mängd , är en följd av funktioner som är integrerbara med avseende på , sådana att de antingen konvergerar nästan överallt till en funktion eller

för varje , och , där är en integrerbar funktion, är integrerbar och

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Satsen kan bevisas enligt följande. Antag först att

för varje . Låt Då är en -ändlig mängd, vilket är uppenbart om är ett -ändligt mått och eljest är en direkt följd av att är integrerbara funktioner. Sålunda kan skrivas som en union

där och .

Låt . Då är

Det följer att det för varje finns ett tal sådant att

gäller för varje och , alldenstund , när .

Låt . Då är

Ur antagandet om funktionerna följer att när . Sålunda finns ett tal sådant att

gäller för varje . Detta ger nu att

om och . Härav följer att

och sålunda gäller att

eftersom . Det är nu lätt att se att

vilket bevisar satsen.

För att visa satsen när konvergerar till nästan överallt, räcker det att visa att

för varje . Låt

Eftersom är integrerbar så är och eftersom nästan överallt så är . Det följer att . Enär , följer det att

för varje . Detta slutför beviset av satsen.