Egenvektorer till en kvadratisk matris är de nollskilda vektorer som bibehåller sin riktning efter multiplikation med matrisen. Till varje egenvektor hör en skalningsfaktor, ett egenvärde, med vilken vektorns storlek är ändrad efter matrismultiplikationen.
Ett egenrum för ett egenvärde är det underrum som spänns upp av de linjärt oberoende egenvektorer som hör till egenvärdet.
Mängden av egenvärden kallas den linjära avbildningens spektrum.
Sekularekvationen
Vanligen löses egenvärdesproblemet för en kvadratisk matris A med ekvationen
vilken kan skrivas om till
där I är enhetsmatrisen.
Då x skall vara nollskild måste matrisen avbilda vissa vektorer på nollvektorn; matrisen måste vara icke inverterbar. En matris är inte inverterbar om och endast om matrisens determinant är noll, vilket leder till sekularekvationen
som är ett polynom, det karaktäristiska polynomet. Polynomets nollställen , är matrisens egenvärden.
Om är en multipelrot som förekommer m gånger sägs ha den algebraiska multiplicitetenm.
Antag att en linjär avbildning ges av matrisen A enligt
Sekularekvationen
blir
där det karaktäristiska polynomet i λ har rötterna
vilka alltså är avbildningens egenvärden.
Enligt ekvationen
är de motsvarande egenvektorerna lösningarna till systemen
Det första systemet har lösningen
och det andra lösningen
De till egenvärdena
hörande egenvektorerna är alltså
och alla vektorer som är parallella med dessa.
Egenrum
Egenrummet till ett egenvärde av en linjärtransformation är det vektorrum som spänns upp av de linjärt oberoende egenvektorerna till linjärtransformationen som svarar mot detta egenvärde. Antalet av dessa linjärt oberoende egenvektorer är egenrummets dimension och kallas egenvärdets geometriska multiplicitet.
Den geometriska multipliciteten är alltid mindre än eller lika med den algebraiska multipliciteten.
För en kvadratisk matris A, kan egenrummen fås, när egenvärdena är kända, genom ekvationen
Bestäm de egenrum som hör till matrisen A's egenvärden.
Sekularekvationen
ger den karaktäristiska ekvationen
vars lösningar är egenvärdena
Enligt ekvationen
är egenvektorerna lösningarna till ekvationssystemet
Ekvationssystemet kan lösas genom att först görs en triangulering.
Beräkning av egenrum och egenvektor för egenvärdet 5
x3 kan sättas till den godtyckliga parametern t och lösningen är
Det till egenvärdet 5 hörande egenrummet är endimensionellt då egenvektorn x beskriver en linje.
Beräkning av egenrum och egenvektorer för egenvärdet 2
x2 och x3 kan sättas till de godtyckliga parameterarna s respektive t och lösningen är
Det till egenvärdet 2 hörande egenrummet är tvådimensionellt då egenvektorerna
spänner upp ett plan.
Transformationer i planet
Tabellen visar några exempel på transformationer i planet tillsammans med dessas 2×2 matriser,
egenvärden och egenvektorer.
Horisontell skjuvning
Skalning
Olikformig skalning
Moturs rotation med radianer
Illustration
Matris
Karaktäristisk ekvation
λ2 − 2λ+1 = (1 − λ)2 = 0
λ2 − 2λk + k2 = (λ − k)2 = 0
(λ − k1)(λ − k2) = 0
λ2 - 2λ cos f + 1 = 0
Egenvärden λi
λ1=1
λ1=k
λ1 = k1, λ2 = k2
λ1,2 = cos f ± i sin f = e ± if
Algebraiska och geometriska multipliciteter
n1 = 2, m1 = 1
n1 = 2, m1 = 2
n1 = m1 = 1, n2 = m2 = 1
n1 = m1 = 1, n2 = m2 = 1
Egenvektorer
Tillämpningar
Egenvärdesproblem har varit en viktig del inom matematiken och dess tillämpningar under mer än tvåhundra år.
Inom mekaniken ger egenvärden resonansfrekvenser för mekaniska system. De grundtoner som frambringas av till exempel stränginstrument motsvaras av egenvärden för den svängande strängen. Inom kvantmekaniken är egenvärden av fundamental betydelse. De bestämmer till exempel de möjliga energinivåerna hos atomer och molekyler.
Matematiskt har egenvärdena och egenvektorerna betydelse vid diagonalisering av matriser och i det allmännare fallet Jordans normalform.