Euler-Lagranges ekvationer

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Euler-Lagranges ekvationen används inom en metod i variationskalkylen för att hitta maximum- och minimumvärden. Nämnda metod påminner om - men är mycket mer avancerad än - motsvarande metod för att hitta maximum- och minimumvärden inom differentialkalkylen. Euler-Lagranges ekvation anses ha en central ställning inom variationskalkylen. Ekvationen utvecklades genom samarbete mellan Leonhard Euler och Joseph Louis Lagrange under 1750-talet.

Euler-Langrage differentialekvationen ger att följande integral:

(1)

där

,

har en stationär punkt om följande Euler-Langrange differentialekvation är uppfylld:

Härledning av Euler-Lagrange ekvationen[redigera | redigera wikitext]

Vi vill hitta ett bivillkor för Lagrange-funktionen så att integralen blir maximal eller minimal. Vi skriver om med avseende på , på följande sätt:

Här har vi ändrat s koordinater med en liten variation som är oändlig. Villkoret ska också gälla.

Vi integrerar med avseende på och sätter integralen lika med 0:

Vi måste hitta partiella derivator för och .

Vi använder partiell integration för att integrerar vidare:

Här ser vi att den mittersta termen blir noll eftersom vi satte gränser till noll.

Nu kan vi bryta ut . Integralen försvinner för alla variationer av om och endast om parenteserna runt försvinner.

Detta ger upphov till Euler-Lagrange-ekvationen:

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Integralen ovan är ett optimeringsproblem. Detta går att lösa genom att hitta dess extrema värden. Vi ska försöka lösa denna typen av problem som ges ovan genom att införa de nödvändiga villkor för att hitta ett maxima till integralen.

Betrakta funktionen

som ges av

.

där

Vi vill hitta som minimerar .

Kalkylen är följande:

Vi har, och

Euler-Lagrange differentialekvationen (2) ges nu av:

Där .

Vi integrerar och får där D är en konstant, och .

Om vi integrerar en gång till får vi , för konstanter C och D.

Vi kan hitta värden på konstanterna genom att utgå från att , och att och att Vi får då:

,

,

Vilket ger och .

Lösningen till Euler-Lagrange ekvationen i blir Vi ser att för alla ,

Det medför att för alla Däremot är

.

för all , följer det att minimerar .

[1] [2] [3] [4]

Euler-Lagrange ekvationen i flervariabler[redigera | redigera wikitext]

Hittills har vi undersökt , dvs funktionen av en variabel och dess derivata. Om man betraktar funktionen av flera variabler blir situationen som nedan

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ ”The Euler-Lagrange equation”. http://mathsci.kaist.ac.kr/~nipl/am621/lecturenotes/Euler-Lagrange_equation.pdf. Läst 15 maj 2017. 
  2. ^ ”Euler-Lagrange differential equation”. http://mathworld.wolfram.com/Euler-LagrangeDifferentialEquation.html. Läst 2017-15-05. 
  3. ^ Akhiezer, N.I. The Calculus Of Variations 
  4. ^ Bliss, Gilbert. Lectures in the Calculus of Variations