Eulers triangelformel

Eulers triangelformel är en geometrisk sats som säger att för de inskrivna och omskrivna cirklarna till en triangel gäller nedanstående förhållande för avståndet mellan dessa båda cirklars medelpunkter (beteckningar enligt figur 1):

d^{2}=R\cdot (R-2r)

eller, alternativt,

{\frac {1}{R+d}}+{\frac {1}{R-d}}={\frac {1}{r}}

där $R$ betecknar den omskrivna cirkelns radie, $r$ den inskrivna cirkelns radie och $d$ avståndet mellan de båda cirklarnas medelpunkter.

Ur formeln följer följande samband, "Eulers olikhet", mellan den inskrivna och omskrivna cirkelns radier:

R\geq 2r

.

En följd av Eulers triangelformel är att för varje par av cirklar som uppfyller formeln kan oändligt många trianglar in- respektive omskrivas, så att en godtycklig punkt på den yttre cirkeln är hörn i en triangel inskriven i denna cirkel och vars tre sidor alla tangerar den inre cirkeln (som alltså är inskriven cirkel till triangeln). Detta förhållande är ett särfall av Poncelets porism.

En snarlik (notera plustecken i stället för minustecken) formel finns för vidskrivna cirklar (beteckningar enligt figur 1):

{d_{a}}^{2}=R\cdot (R+2r_{a})

Satsen är uppkallad efter Leonhard Euler som publicerade den 1767 i artikeln Solutio facilis problematnm quorumdam geometricorum difficillimorum.^[1]^[2] Redan 1746 hade den dock publicerats av William Chapple ^[3]

Härledning

Betrakta triangeln $\triangle ABC$ i figur 2, med den inskrivna cirkelns medelpunkt $I$ och den omskrivna cirkelns medelpunkt $O$ . Dra bisektrisen till vinkeln $\angle BAC$ genom $I$ till skärningspunkten $L$ med den omskrivna cirkeln och dra sedan denna cirkels diameter från $L$ genom $O$ till $M$ . Kalla fotpunkten till den inskrivna cirkelns medelpunkt på triangelsidan ${\overline {AB}}$ för $D$ (det vill säga den inskrivna cirkelns tangeringspunkt). Eftersom ${\overline {LB}}$ är en korda i den omskrivna cirkeln är, enligt randvinkelsatsen, vinklarna $\angle LMB$ och $\angle LAB$ lika. Eftersom ${\overline {LM}}$ är en diameter i den omskrivna cirkeln är vinkeln $\angle LBM$ rät (Thales sats) och då vinkeln $\angle ADI$ också är rät, följer att $\triangle ADI$ och $\triangle MBL$ är likformiga. Således är

{\frac {|{\overline {DI}}|}{|{\overline {BL}}|}}={\frac {|{\overline {IA}}|}{|{\overline {LM}}|}}\Leftrightarrow {\frac {r}{|{\overline {BL}}|}}={\frac {|{\overline {IA}}|}{2R}}\Leftrightarrow 2Rr=|{\overline {IA}}|\cdot |{\overline {BL}}|

.

Ur figuren framgår att (då ${\overline {LC}}$ är en korda är, enligt randvinkelsatsen, $\angle LBC=\angle LAC$ )

\angle LBI=\angle LBC+\angle CBI=\angle LAC+\angle CBI={\frac {\angle BAC}{2}}+{\frac {\angle ABC}{2}}=\angle IAB+\angle ABI=180^{\circ }-\angle AIB=\angle LIB

^[4]

vilket innebär att $\triangle LBI$ är likbent och således är $|{\overline {BL}}|=|{\overline {IL}}|$ . Insättning av detta ger:

2Rr=|{\overline {IA}}|\cdot |{\overline {BL}}|\Rightarrow 2Rr=|{\overline {IA}}|\cdot |{\overline {IL}}|

.

Förläng ${\overline {IO}}$ till diametern ${\overline {PQ}}$ i den omskrivna cirkeln. Kordasatsen (för ${\overline {AL}}$ och ${\overline {PQ}}$ , vilka skär varandra i $I$ ) ger då:

|{\overline {IA}}|\cdot |{\overline {IL}}|=|{\overline {IP}}|\cdot |{\overline {IQ}}|\Rightarrow 2Rr=|{\overline {IA}}|\cdot |{\overline {IL}}|=|{\overline {IP}}|\cdot |{\overline {IQ}}|

.

Nu är ju

|{\overline {IP}}|=|{\overline {OP}}|-|{\overline {OI}}|=R-d

och

|{\overline {IQ}}|=|{\overline {OQ}}|+|{\overline {OI}}|=R+d

vilket (via konjugatregeln) ger

2Rr=|{\overline {IP}}|\cdot |{\overline {IQ}}|=(R-d)\cdot (R+d)=R^{2}-d^{2}\Rightarrow d^{2}=R^{2}-2Rr=R\cdot (R-2r)

och härmed är Eulers triangelformel härledd.

Att formeln även kan skrivas på det alternativa sättet enligt ovan, visas enkelt:

{\frac {1}{R+d}}+{\frac {1}{R-d}}={\frac {1}{r}}\Leftrightarrow {\frac {R-d}{(R+d)(R-d)}}+{\frac {R+d}{(R+d)(R-d)}}={\frac {1}{r}}\Leftrightarrow {\frac {R-d+R+d}{(R+d)(R-d)}}={\frac {1}{r}}\Leftrightarrow {\frac {2R}{R^{2}-d^{2}}}={\frac {1}{r}}\Leftrightarrow 2Rr=R^{2}-d^{2}\Leftrightarrow d^{2}=R^{2}-2Rr=R\cdot (R-2r)

Då $d\geq 0$ (med $d=0$ då de båda cirklarnas medelpunkter sammanfaller – det vill säga att triangeln är liksidig) följer "Eulers olikhet" direkt:

(d\geq 0\Rightarrow )\ d^{2}\geq 0\Rightarrow R\cdot (R-2r)\geq 0\Rightarrow R-2r\geq 0\Rightarrow R\geq 2r

.

Härledningen av formeln för vidskrivna cirklar är i stort sett densamma, dock med undantag för att sekantsatsen används i stället för kordasatsen, då den vidskrivna cirkelns medelpunkt ligger utanför den omskrivna cirkeln (vilket leder till $R\cdot (R+2r_{a})$ , med plustecken, i stället för $R\cdot (R-2r)$ , med minustecken).^[5]

Eulers triangelformel och Poncelets porism

Animation (tyvärr alldeles för snabb för att man enkelt skall hinna uppfatta hur triangeln växlar mellan en trubbvinklig likbent triangel och en spetsvinklig likbent triangel, och allt däremellan) av Poncelets porism för trianglar och cirklar.

Poncelets porism säger att till två kägelsnitt, vilka är om- respektive inskrinva i en n-hörning, kan oändligt många n-hörningar om-/inskrivas.^[6] Att Poncelets porism gäller i fallet att kägelsnitten är cirklar och n-hörningarna är trianglar kan visas utgående från Eulers triangelformel enligt nedan.^[5] Härledningen är i stor utsträckning, men inte helt, en omvändning av härledningen av Eulers triangelformel och samma figur (figur 2) kan därför "återanvändas".

Välj ett godtyckligt par av cirklar $O(R)$ , med medelpunkt i $O$ och radien $R$ , och $I(r)$ , med medelpunkt i $I$ och radien $r$ , sådana att avståndet $d$ mellan $O$ och $I$ uppfyller Eulers triangelformel $d^{2}=R\cdot (R-2r)$ . I figur 2 visas två sådana "godtyckligt valda" cirklar. Välj en godtycklig punkt på $O(R)$ ( $A$ är en sådan "godtyckligt vald" punkt) och dra från denna tangenterna ${\overline {AB}}$ och ${\overline {AC}}$ till $I(r)$ . Om även ${\overline {BC}}$ tangerar $I(r)$ är porismens giltighet visad.

Konstruera ${\overline {PQ}}$ (förläng ${\overline {IO}}$ ), ${\overline {AL}}$ (bisektris till $\angle BAC$ och därför gående genom $I$ ), ${\overline {LM}}$ (genom $O$ och således diameter till $O(R)$ ), ${\overline {BL}}$ och ${\overline {ID}}$ (höjden från $I$ till ${\overline {AB}}$ och radie i $I(r)$ eftersom $I(r)$ tangeras av både ${\overline {AB}}$ och ${\overline {AC}}$ ^[7]).

${\overline {LM}}$ är en diameter i $O(R)$ och således är vinkeln $\angle LBM$ rät (i enlighet med Thales sats) och $\angle IDA$ är också rät ( ${\overline {ID}}$ är ju vinkelrät mot ${\overline {AB}}$ ). Vidare är $\angle IAD=\angle LAB=\angle LMB$ (randvinkelsatsen) och $\triangle ADI$ är således likformig med $\triangle MBL$ , varför:

{\frac {|{\overline {AI}}|}{|{\overline {ID}}|}}={\frac {|{\overline {LM}}|}{|{\overline {BL}}|}}\Leftrightarrow |{\overline {AI}}|\cdot |{\overline {BL}}|=|{\overline {LM}}|\cdot |{\overline {ID}}|=2R\cdot r

eftersom ${\overline {LM}}$ är en diameter i $O(R)$ medan ${\overline {ID}}$ är en radie i $I(r)$ . Att $2R\cdot r=|{\overline {AI}}|\cdot |{\overline {BL}}|$ kommer att användas efter konstaterandet att kordasatsen ger att

|{\overline {AI}}|\cdot |{\overline {IL}}|=|{\overline {QI}}|\cdot |{\overline {IP}}|=(|{\overline {QO}}|-|{\overline {OI}}|)\cdot (|{\overline {OP}}|+|{\overline {OI}}|)=(R-d)\cdot (R+d)=R^{2}-d^{2}=R^{2}-(R^{2}-2R\cdot r)=2R\cdot r

eftersom Eulers triangelformel ( $d^{2}=R^{2}-2R\cdot r$ ) gäller enligt förutsättningarna för den ursprungliga konstruktionen av cirklarna $O(R)$ och $I(r)$ . Således är

|{\overline {AI}}|\cdot |{\overline {IL}}|=2R\cdot r=|{\overline {AI}}|\cdot |{\overline {BL}}|\Rightarrow |{\overline {IL}}|=|{\overline {BL}}|

Eftersom $L$ är skärningspunkt mellan bisektrisen till $\angle BAC$ och den omskrivna cirkeln, $O(R)$ , till $\triangle ABC$ samt att $B$ är ett hörn i triangeln följer ur trilliumsatsen att $I$ är den inskrivna cirkelns medelpunkt i $\triangle ABC$ ^[8] och således tangerar ${\overline {BC}}$ den inskrivna cirkeln $I(r)$ , varmed Poncelets porism är visad för trianglar och cirklar.^[9]

Referenser

Eric W. Weisstein, Euler Triangle Formula och Euler's Inequality på Wolfram MathWorld.
Shailesh Shirali, 2020, Euler’s Inequality for the Circumradius and Inradius of a Triangle, Azim Premji University At Right Angles.

Noter

^ Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum på The Euler Archive, University of the Pacific.
^ För en beskrivning på engelska av Eulers bevis, se John Sturgeon Mackay, 1887, Historical Notes on a Geometrical Theorem and its Developments i Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, Vol. 5, februari 1887, sid. 74–75 och figur 73.
^ W. Chapple, 1746, An essay on the properties of triangles inscribed in, and circumscribed about two given circles i Miscellanea Curiosa Mathematica or The Literary Correspondence of some eminent Mathematicians in Great Britain and Ireland, nr 4, sid. 123 (längst ner på sidan: " ${\sqrt {r^{2}-2Rr}}=$ the distance of the centers of the two circles" – beteckningarna i artikeln refererar till figur 72).
^ $\angle IAB+\angle ABI=180^{\circ }-\angle AIB$ eftersom vinkelsumman i $\triangle AIB=180^{\circ }$ .
^ [a b] Se Euler's Formula and Poncelet Porism på Cut the Knot.
^ Eric W. Weisstein, Poncelets Porism på Wolfram MathWorld.
^ En tangent till en cirkel är ju vinkelrät mot radien till tangeringspunkten.
^ Eftersom $I$ ligger på bisektrisen till $\angle BAC$ och $|{\overline {IL}}|=|{\overline {BL}}|$ där $L$ är skärningspunkten mellan denna bisektris och den omskrivna cirkeln ligger $I$ även på bisektrisen till $\angle BAC$ och är därigenom medelpunkt i den inskrivna cirkeln till $\triangle ABC$ .
^ Att även $|{\overline {IL}}|=|{\overline {CL}}|$ kan visas analogt och således visar att $|{\overline {IL}}|=|{\overline {CL}}|=|{\overline {BL}}|$ helt i enlighet med trilliumsatsen gör därmed, om möjligt, beviset än starkare.

Externa länkar

Rajaram Nityananda, Porism of Poncelet. Interaktiv illustration av Poncelets porism för trianglar och cirklar på GeoGebra (dra triangelhörnet h runt den omskrivna cirkeln).
Leopoldo Cano, Michael Borcherds Poncelet's Porism for 2 circles. Interaktiv illustration för cirklar och 3- till 8-hörningar på GeoGebra (ändra antalet hörn genom att flytta den svarta punkten på skalan, flytta även den inskrivna cirkelns medelpunkt genom att dra den ät höger eller vänster – notera att ett av hörnen rör sig med konstant hastighet längs den omskrivna cirkeln vilket gör att, om man flyttar den inskrivna cirkelns medelpunkt nära den omskrivna cirkeln, två trianglar snabbt "passerar revy" innan det makliga tempot återupptas). En annan variant finns här.

[1] Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum på The Euler Archive, University of the Pacific.

[2] För en beskrivning på engelska av Eulers bevis, se John Sturgeon Mackay, 1887, Historical Notes on a Geometrical Theorem and its Developments i Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, Vol. 5, februari 1887, sid. 74–75 och figur 73.

[3] W. Chapple, 1746, An essay on the properties of triangles inscribed in, and circumscribed about two given circles i Miscellanea Curiosa Mathematica or The Literary Correspondence of some eminent Mathematicians in Great Britain and Ireland, nr 4, sid. 123 (längst ner på sidan: " ${\sqrt {r^{2}-2Rr}}=$ the distance of the centers of the two circles" – beteckningarna i artikeln refererar till figur 72).

[4] $\angle IAB+\angle ABI=180^{\circ }-\angle AIB$ eftersom vinkelsumman i $\triangle AIB=180^{\circ }$ .

[PPCTK-5] [a b] Se Euler's Formula and Poncelet Porism på Cut the Knot.

[6] Eric W. Weisstein, Poncelets Porism på Wolfram MathWorld.

[7] En tangent till en cirkel är ju vinkelrät mot radien till tangeringspunkten.

[8] Eftersom $I$ ligger på bisektrisen till $\angle BAC$ och $|{\overline {IL}}|=|{\overline {BL}}|$ där $L$ är skärningspunkten mellan denna bisektris och den omskrivna cirkeln ligger $I$ även på bisektrisen till $\angle BAC$ och är därigenom medelpunkt i den inskrivna cirkeln till $\triangle ABC$ .

[9] Att även $|{\overline {IL}}|=|{\overline {CL}}|$ kan visas analogt och således visar att $|{\overline {IL}}|=|{\overline {CL}}|=|{\overline {BL}}|$ helt i enlighet med trilliumsatsen gör därmed, om möjligt, beviset än starkare.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]