Exponentiellt sönderfall

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Exponentiellt sönderfall innebär att en kvantitet sönderfaller (avtar) exponentiellt om dess värde avtar med en hastighet som är proportionell mot dess aktuella värde. Sönderfallsprocessen kan beskrivas med en differentialekvation där N är kvantiteten och λ (lambda) är en positiv konstant som kallas sönderfallskonstanten:

Lösningen till ekvationen (se härledning nedan) är

där N(t) är kvantiteten som funktion av tiden t och N0 = N(0) är den ursprungliga kvantiteten, det vill säga kvantiteten när t = 0.

I stället för sönderfallskonstanten används ofta medellivslängden τ (tau) där τ = 1/λ eller halveringstiden t1/2 = ln(2)/λ som mått på sönderfallshastigheten.

Mått på sönderfallshastigheten[redigera | redigera wikitext]

Exponentiellt sönderfall räknat i medellivslängden τ. T1/2 är halveringstiden. Tre potenser av 1/e är också inlagda.
Ett ämnes exponentiella avtagande som funktion av antalet halveringstider T1/2.

Medellivslängd[redigera | redigera wikitext]

Om kvantiteten N(t) är antalet diskreta element i en viss mängd, så är det möjligt att beräkna hur lång tid som ett visst element i medeltal blir kvar i mängden. Denna tid kallas för medellivslängden (eller bara livslängden eller tidskonstanten), τ. Det går att visa att den förhåller sig till sönderfallskonstanten λ enligt

Medellivslängden definierar en "tidsskala". Man kan lika gärna skriva sönderfallsekvationen uttryckt i medellivslängden τ i stället för sönderfallskonstanten λ:

Medellivslängden τ är den tid det tar för populationen att minska till 1/e ≈ 0,367879441 gånger utgångsvärdet.

Halveringstid[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Halveringstid

Ett mer intuitivt mått på sönderfallshastigheten är den tid det tar för den ursprungliga kvantiteten att minska till hälften. Denna tid kallas halveringstid och betecknas ofta med symbolen t1/2. Halveringstiden

är den naturliga logaritmen av 2.

Differentialekvationens lösning[redigera | redigera wikitext]

Ekvationen som beskriver exponentiellt sönderfall är

eller omskrivet,

Integreras ekvationens båda led fås

där C är en reell konstant och omskrivet blir detta

där N0 = eC, är kvantiteten (randvillkoret) vid t = 0.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Naturvetenskap[redigera | redigera wikitext]

Kemiska reaktioner: Reaktionshastigheten för vissa typer av kemiska reaktioner beror av koncentrationen av ett eller flera av ämnena som reagerar med varandra (reaktanterna), om koncentrationen är högre så blir reaktionshastigheten högre.

Optik: I ett absorberande (dämpande) medium avtar intensiteten av elektromagnetisk strålning, t.ex. ljus eller röntgenstrålning, exponentiellt med avståndet som strålningen färdats genom mediet. Detta samband kallas Beers lag.

Radioaktivitet: Instabila partiklar och atomkärnor sönderfaller med en sannolikhet per tidsenhet som är konstant. För ett prov av ett radioaktivt ämne avtar mängden av provet som är kvar i det ursprungliga tillståndet exponentiellt. Efter en halveringstid är hälften av det ursprungliga provet kvar. För instabila partiklar, där man ofta mäter hur långt en enskild partikel hinner röra sig i en detektor, är det mer naturligt att använda medellivslängden som uttryck för sönderfallshastigheten.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Exponential decay, 30 mars 2017.