Ext-funktorn

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Ext-funktorn härledda funktioner av Hom-funktorn. De användes först inom algebraisk topologi men används numera inom flera andra delområden av matematiken. Namnet "Ext" kommer från dess konnektionen med utvidgningar (på engelska extension) i abelska kategorier.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt R vara en ring och låt ModR vara kategorin av moduler över R. Låt B vara i ModR och låt T(B) = HomR(A,B) för något fixerat A i ModR. Det här är en vänster-exakt funktor och har alltså höger-härledda funktorer RnT. Ext-funktorn definieras som

Den kan räknas genom att välja en godtycklig injektiv resolution

och sedan räkna

Då är (RnT)(B) homologin av detta komplex. Notera att HomR(A,B) utelämnas från komplexet.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • Om Ext1R(A, B) = 0 för alla A är ExtiR(A, B) = 0 för alla A och B är injektiv; om Ext1R(A, B) = 0 för alla B är ExtiR(A, B) = 0 för alla B och A är projektiv.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Om Z[G] är heltalsgruppringen av en grupp G, då är Ext*Z[G](Z, M) gruppkohomologin H*(G,M) med koefficienter i M.

Om Fp är ändliga kroppen med p element, då är H*(G,M) = Ext*Fp[G](Fp, M), och gruppkohomologin beror inte på vilken basring man valt.

Om A är en k-algebra, då är Ext*Ak Aop(A, M) Hochschildkohomologin HH*(A,M) med koefficienter i A-bimodulen M.

Om R är den universala enveloppernade algebran för en Liealgebra over a commutative ring k, then Ext*R(k, M) är Liealgebrakohomologin med koefficienter i modulen M.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Ext functor, 20 februari 2014.