Finita differensmetoden

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Finita differensmetoden (FDM) är en numerisk metod för att finna lösningar till differentialekvationer genom att ersätta derivatorna med finita differenser.

Härledning[redigera | redigera wikitext]

Säg att man vill beräkna funktionen f i punkten x. Om f:s derivator uppfyller vissa villkor kan man Taylorutveckla f(x + Δx):

.

Om man löser ut f'(x0) får man:

.

På liknande sätt, genom att Taylorutveckla f(x - Δx), kan man få approximationen

och genom att sätta ihop de två formlerna får man

.

Man kan även härleda approximationer för högre derivator, exempelvis andraderivatan:

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Som exempel, betrakta Poissonekvationen på en kvadratisk domän

Om Laplaceoperatorn utvecklas fås

En approximativ lösning fås genom att approximera de partiella andraderivatorna med

där j och k löper över en finit uppdelning av domänen .

Antag att stegen i x- och y-led är lika, d.v.s . Då kan den approximativa versionen av ekvationen ovan skrivas om till

Denna formel är sedan grunden för iterativa lösningsmetoder, exempelvis Jacobi-metoden.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Heath, Michael T. (2005). Scientific Computing - An Introductory Survey. McGraw-Hill. ISBN 007-124489-1