Finita differensmetoden

Finita differensmetoden (FDM) är en numerisk metod för att finna lösningar till differentialekvationer genom att ersätta derivatorna med finita differenser.

Härledning

Säg att man vill beräkna funktionen f i punkten x. Om f:s derivator uppfyller vissa villkor kan man Taylorutveckla f(x + Δx):

$f(x+\Delta x)=f(x)+\Delta x{\frac {f'(x)}{1!}}+(\Delta x)^{2}{\frac {f''(x)}{2!}}+\dots$.

Om man löser ut f'(x) får man:

$f'(x)={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}-\Delta x{\frac {f''(x)}{2!}}+\dots \approx {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$.

På liknande sätt, genom att Taylorutveckla f(x - Δx), kan man få approximationen

$f'(x)\approx {\frac {f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}}$

och genom att sätta ihop de två formlerna får man

$f'(x)\approx {\frac {f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x}}$.

Man kan även härleda approximationer för högre derivator, exempelvis andraderivatan:

$f''(x)\approx {\frac {f(x+\Delta x)-2f(x)+f(x-\Delta x)}{(\Delta x)^{2}}}$

Exempel

Som exempel, betrakta Poissonekvationen $-\Delta u=f$ på en kvadratisk domän $\Omega$

Om Laplaceoperatorn $\Delta$ utvecklas fås

$-\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)=f$

En approximativ lösning fås genom att approximera de partiella andraderivatorna med

$-\left({\frac {u_{j+1,k}-2u_{j,k}+u_{j-1,k}}{(\Delta x)^{2}}}+{\frac {u_{j,k+1}-2u_{j,k}+u_{j,k-1}}{(\Delta y)^{2}}}\right)=f$

där j och k löper över en finit uppdelning av domänen $\Omega$.

Antag att stegen i x- och y-led är lika, d.v.s $\Delta x=\Delta y=h$. Då kan den approximativa versionen av ekvationen ovan skrivas om till

$u_{j,k}=\left(h^{2}f+u_{j+1,k}+u_{j-1,k}+u_{k,j+1}+u_{k,j-1}\right)/4$

Denna formel är sedan grunden för iterativa lösningsmetoder, exempelvis Jacobi-metoden.

Se även

• Finita volymmetoden
• Finita elementmetoden

Referenser

• Heath, Michael T. (2005). Scientific Computing - An Introductory Survey. McGraw-Hill. ISBN 007-124489-1