Fishers ekvation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Numerisk simulering av Fishers ekvation. I färgerna: lösningen u(t,x); i punkter: lutning som motsvarar den teoretiska hastigheten för resande vågen.

Inom matematiken är Fishers ekvation, även kallad för Fisher–Kolmogorovs ekvation och Fisher–KPP-ekvationen, den partiella differentialekvationen

 \frac{\partial u}{\partial t}=u(1-u)+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.\,

Den är uppkallad efter Ronald Fisher och Andrej Kolmogorov.

Fisher föreslog denna ekvation för att beskriva den rumsliga spridningen av en fördelaktig allel och utforskade sina resande våglösningar.[1] För varje våghastighet c ≥ 2 medges resande våglösningar på formen

 u(x,t)=v(x \pm ct)\equiv v(z),\,

där \textstyle v ökar och

 \lim_{z\rightarrow-\infty}v\left(  z\right)  =0,\quad\lim_{z\rightarrow\infty }v\left(  z\right)  =1.

Det vill säga, lösningen växlar från jämviktstillståndet u = 0 till jämviktstillståndet u = 1. Någon sådan lösning finns för c < 2.[2][3][4] Vågformen för en given våghastighet är unik.

För den speciella våghastigheten c=\pm 5/\sqrt{6}, kan alla lösningar finnas i en sluten form, med[5]


 v(z) = \left( 1 + C \mathrm{exp}\left(\pm{z}/{\sqrt6}\right) \right)^{-2}

där C är godtycklig, och ovannämnda gränsvillkoren uppfylls för C>0.

Den är det enklaste exemplet på ett semilinjärt reaktion–spridningssystem

 \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u+F\left(  u\right)  ,

som kan uppvisa resande våg-lösningar som växlar mellan jämviktstillstånd som ges av  f(u) = 0. Sådana ekvationer inträffar till exempel i ekologi, fysiologi, förbränning, kristallisering, plasmafysik och i allmänhet fasövergångsproblem.

Bevis på att det finns resande våg-lösningar och analyser av deras egenskaper görs ofta av fasrumsmetoden.

Resande våg-lösningar[redigera | redigera wikitext]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Fisher's equation, 10 december 2013.
  1. ^ Fisher, R. A., The genetical theory of natural selection. Oxford University Press, 1930. Oxford University Press, USA, New Ed edition, 2000, ISBN 978-0-19-850440-5, variorum edition, 1999, ISBN 0-19-850440-3
  2. ^ R. A. Fisher. "The wave of advance of advantageous genes", Ann. Eugenics 7:353–369, 1937.
  3. ^ A. Kolmogorov, I. Petrovskii, and N. Piscounov. A study of the diffusion equation with increase in the amount of substance, and its application to a biological problem. In V. M. Tikhomirov, editor, Selected Works of A. N. Kolmogorov I, pages 248–270. Kluwer 1991, ISBN 90-277-2796-1. Translated by V. M. Volosov from Bull. Moscow Univ., Math. Mech. 1, 1–25, 1937
  4. ^ Peter Grindrod. The theory and applications of reaction-diffusion equations: Patterns and waves. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. The Clarendon Press Oxford University Press, New York, second edition, 1996 ISBN 0-19-859676-6; ISBN 0-19-859692-8.
  5. ^ Ablowitz, Mark J. and Zeppetella, Anthony, Explicit solutions of Fisher's equation for a special wave speed, Bulletin of Mathematical Biology 41 (1979) 835–840

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]