Fixpunkt (matematik)

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
En funktion med tre (synliga) fixpunkter.

Inom matematiken är en fixpunkt till en funktion en punkt som avbildas på sig själv, det vill säga en punkt sådan att är en fixpunkt till .

För att hitta fixpunkter till en funktion kan man lösa ekvationen .

Alla funktioner har inte fixpunkter, exempelvis är fixpunktslös. I det fallet beskriver funktionen en linje som är parallell med linjen och linjerna kommer därför aldrig att mötas.

Attraktiva fixpunkter[redigera | redigera wikitext]

Fixpunktsiteration för cosinus med begynnelsevärde -1

En attraktiv fixpunkt till en funktion är punkt sådan att för varje i definitionsmängden till som är tillräckligt nära konvergerar serien:

till .

Cosinus har en fixpunkt och den är attraktiv. "Tillräckligt nära" i det här fallet innebär alla reella tal. Serien kommer för cosinus att konvergera mot 0,73909... Dock är inte alla fixpunkter attraktiva, till exempel så har funktionen en fixpunkt i , men i alla närheter av (förutom just i ) kommer funktionen att avlägsna sig från istället för att närma sig.

En fixpunkt är garanterat attraktiv om är kontinuerligt deriverbar i en omgivning till och ,

Fixpunktssatser[redigera | redigera wikitext]

Det finns många fixpunktssater som garanterar att det finns en fixpunkt till en funktion under vissa omständigheter. Exempelvis Brouwers fixpunktssats och Borels fixpunktssats

Relaterade koncept[redigera | redigera wikitext]