Galoisteori

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Évariste Galois (1811–1832)

Inom matematiken är Galoisteori, uppkallat efter Évariste Galois, en teori som sammanbinder kroppteori och gruppteori. Med Galoisteori kan flera problem i kroppteorin reduceras till problem i gruppteorin, som på ett visst sätt är enklare och bättre förståeligt.

Ursprungligen använde Galois permutationsgrupper till att beskriva hur rötterna av en given polynomekvation är relaterade till varandra. Det moderna närmandesättet till Galoisteori, utvecklad av Richard Dedekind, Leopold Kronecker och Emil Artin, bland andra, innehåller studiet av automorfier av kroppsutvidgninger.

Vidare abstraktion av Galoisteori fås med teorin av Galoiskonnektioner.

Modernt närmandesätt med kroppteori[redigera | redigera wikitext]

I det moderna närmandesättet börjar man med en kroppsutvidgning L/K (läs: L över K) och betraktar gruppen av kroppautomorfier av L/K (dessa är bijektiva ringhomomorfier α: LL så att α(x) = x för alla x i K).

Sambandet mellan närmandesätten med permutationer och kroppteori är följande. Koefficienterna av polynomet i fråga skall väljas från baskroppen K. Kroppen L skall vara kroppen som fås genom att lägga till rötterna av polynomet i fråga till baskroppen. Vissa permutationer av rötterna ger upphov till automorfier av L/K, och samma omvänt.

Det finns flera fördelar i det moderna närmandesättet jämfört med det gamla.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Galois theory, 24 november 2014.