Gauss sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Exempel på flöden genom en region. Varje vektor kan indikera ett inåt- eller utåtgående flöde

Inom vektoranalysen är Gauss sats, eller divergenssatsen, ett resultat som knyter samman divergensen av ett vektorfält till värdet av flödet genom ytintegraler definierade av fältet. Gauss sats är ett viktigt resultat för fysikens matematik, till exempel elektrostatiken och flödesdynamiken.

Informell beskrivning[redigera | redigera wikitext]

Det intuitiva innehållet i satsen är enkelt: om vatten flödar genom en viss sluten regions gränsyta och nettoflödet skall bestämmas, då måste inkommande flöden adderas och utåtgående flöden subtraheras för gränsytan. Vattenflödet representeras av ett vektorfält och divergensen av vektorfältet i en given punkt beskriver styrkan av respektive flöde. Integreras fältets divergens över områdets volym, borde detta vara lika med integralen av vektorfältet över områdets yta. Gauss sats innebär att så är fallet och knyter samman flöden genom en sluten regions gränsyta med flöden inom regionen.

Gauss sats är således en konserveringslag som innebär att volymen av det totala flödet, till exempel volymintegralen av divergensen, är lika med nettoflödet över volymens yta.

Formell beskrivning[redigera | redigera wikitext]

Antag att området V är en delmängd till ℝn och V är kompakt och bitvis kontinuerlig och deriverbar. Om F är ett kontinuerligt, differentierbart vektorfält definierat på ett område av V så gäller att

där ytan S = ∂V är randen till området V, orienterat så att ytans normal är riktad ut från ytan.

Gauss sats är ett specialfall av Stokes sats, vilken är en generalisering av analysens fundamentalsats.

Historia[redigera | redigera wikitext]

Gauss sats upptäcktes av Joseph-Louis Lagrange år 1762. Carl Friedrich Gauss återupptäckte satsen oberoende av Lagrange år 1813 och senare upptäcktes den även av George Green år 1825 och år 1831 av Mikhail Vasilievich Ostrogradsky, som också gav det första beviset för satsen.