Generaliserat medelvärde

Ett generaliserat medelvärde är en generalisering av de vanliga aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdena.

Definition

Ett generaliserat medelvärde av de positiva talen $x_{1},x_{2},\dots x_{n}$ är av formen

$M_{p}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\left({\frac {\sum _{k=1}^{n}x^{p}}{n}}\right)^{1/p}=\left({\frac {x_{1}^{p}+x_{2}^{p}+\dots +x_{n}^{p}}{n}}\right)^{1/p}$

Eftersom

$\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}$

brukar man definiera

$M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}$

Egenskaper

Ett generaliserat medelvärde är strikt, homogent, och symmetriskt.

$M_{p}({\bar {x}})=\left({\frac {1}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}\|{\bar {x}}\|_{p}$.

Specialfall

Några specialfall:

• $\lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ - Minimum
• $M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$ - Harmoniskt medelvärde
• $M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}$ - Geometriskt medelvärde
• $M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$ - Aritmetiskt medelvärde
• $M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}$ - Kvadratiskt medelvärde
• $\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ - Maximum

Ordning

Om $p<q$ gäller

$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})$.

En följd av detta är:

${\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}\geq {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$