Generaliserat medelvärde

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett generaliserat medelvärde är en generalisering av de vanliga aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdena.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Ett generaliserat medelvärde av de positiva talen x_1, x_2, \dots x_n är av formen


M_p(x_1, x_2, \dots , x_n) = \left(\frac{\sum_{k=1}^{n} x^p}{n}\right)^{1/p} = 
\left(\frac{x_1^p + x_2^p + \dots + x_n^p}{n}\right)^{1/p}

Eftersom

\lim_{p\to0} M_p(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}

brukar man definiera

M_0(x_1, \dots, x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Ett generaliserat medelvärde är strikt, homogent, och symmetriskt.

M_p(\bar{x})=\left(\frac{1}{n} \right) ^\frac{1}{p} \|\bar{x}\|_p.

Specialfall[redigera | redigera wikitext]

Några specialfall:

Ordning[redigera | redigera wikitext]

Om p < q gäller

M_p(x_1,\dots,x_n) \leq M_q(x_1,\dots,x_n).

En följd av detta är:

\sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}} \geq \frac{x_1 + \dots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}