Glaisher–Kinkelins konstant

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Glaisher-Kinkelins konstant)
Hoppa till: navigering, sök

Glaisher–Kinkelins konstant är en matematisk konstant som förekommer i ett antal oändliga produkter och integraler relaterade till flera speciella funktioner. Den är uppkallad efter matematikerna James Whitbread Lee Glaisher och Hermann Kinkelin.

Glaisher–Kinkelins konstant kan definieras som

A=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{K(n+1)}{n^{n^2/2+n/2+1/12} e^{-n^2/4}}

därK(n)=\prod_{k=1}^{n-1} k^k är K-funktionen. En ekvivalent definition är

A=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{(2\pi)^{n/2} n^{n^2/2-1/12} e^{-3n^2/4+1/12}}{G(n+1)}

där G(n)=\prod_{k=1}^{n-2}k!=\frac{\left[\Gamma(n)\right]^{n-1}}{K(n)} är Barnes G-funktion.

Dess approximativa värde är

A\approx1.2824271291\dots.

Glaisher-Kinkelins konstant förekommer även i specifika värden av Riemanns zeta-funktion:

\zeta^{\prime}(-1)=\frac{1}{12}-\ln A
\sum_{k=2}^\infty \frac{\ln k}{k^2}=-\zeta^{\prime}(2)=\frac{\pi^2}{6}\left[12\ln A-\gamma-\ln(2\pi)\right]

där \gamma är Eulers konstant. Några integraler innehållande den är

\int_0^{1/2} \ln\Gamma(x)dx=\frac{3}{2} \ln A+\frac{5}{24} \ln 2+\frac{1}{4} \ln \pi
\int_0^\infty \frac{x \ln x}{e^{2 \pi x}-1}dx=\frac{1}{2} \zeta^{\prime}(-1)=\frac{1}{24}-\frac{1}{2}\ln A

En oändlig serie för den är

\ln A=\frac{1}{8}-\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n \left(-1\right)^k \binom{n}{k} \left(k+1\right)^2 \ln(k+1).

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Glaisher–Kinkelin constant, 31 oktober 2013.