Gränsvärde

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Den här artikeln handlar om det matematiska begreppet. För gränsvärden av farliga ämnen, se Gränsvärde (arbetsmiljö).
arctan(x) går mot π/2 då x går mot oändligheten.

Ett gränsvärde (limes) för en funktion beskriver funktionens värde när dess argument kommer tillräckligt nära en viss punkt eller växer sig oändligt (eller tillräckligt) stora. Gränsvärden används i matematisk analys, bland annat för att definiera de viktiga koncepten kontinuitet och derivata.

Gränsvärdet betecknas med notationen:

\lim_{x \rightarrow a} f(x) = A

alternativt f(x) → A då x → a.

Båda utläses som ”gränsvärdet av f(x) då x går mot a är lika med A” eller ”limes av f(x) …”, alternativt ”f(x) går mot Ax går mot a”, och innebär att när x är "nästan" a kommer f(x) att "nästan" vara A. Viktigt att notera är att f(a) inte behöver vara definierad, och om f(a) är det, behöver det inte nödvändigtvis vara lika med A.

Exempel: Låt f(x) = x3 + 2. Vi är intresserade av gränsvärdet då x → 0. Ett sätt att ta reda på detta som egentligen inte är helt matematiskt korrekt men som är en bra illustration är att göra en värdetabell:

f(-1) f(-0,1) f(-0,01) f(0) f(0,01) f(0,1) f(1)
1 1,999 1,999999 2 2,000001 2,001 3

Eftersom funktionen tycks närma sig värdet 2 från både höger och vänster så är detta tydligen gränsvärdet. Att f(0) faktiskt är 2 har inget med saken att göra (men det innebär att funktionen är kontinuerlig i 0). Nedanstående funktion har faktiskt precis samma gränsvärde när x går mot 0:

g(x)=\left\{\begin{matrix} x^3+2 & \mbox{om }x\ne 0 \\  \\ 7 & \mbox{om }x=0 \end{matrix}\right.

En sådan numerisk beräkning fungerar i allmänhet om funktionen har en begränsad derivata nära a men inte nödvändigtvis i a.

Gränsvärdet i en punkt kan skilja sig från värdet i punkten och det senare kan vara odefinierat. Man kan få uttryck på en obestämd form om man försöker sätta in funktionsvärden direkt, som till exempel 0/0 (se division med noll), ∞ - ∞ eller 1.

Exempel: Funktionen f(x) = sin(x)/x är inte definierad för x = 0 eftersom division med noll inte är definierat. Däremot är gränsvärdet av f(x) då x → 0 lika med 1.

Det är inte alltid ett gränsvärde existerar; till exempel existerar inte gränsvärdet av 1/|x| då x → 0 eftersom värdet går mot oändligheten. Detta skrivs ibland något oegentligt som att gränsvärdet är oändligheten. Inte heller gränsvärdet av sin(x) då x → ∞ existerar eftersom funktionen oscillerar kring noll utan någon tendens att plana ut. Ett annat exempel är H(x) = {0 om x < 0, 1 om x ≥ 0}, som inte har något gränsvärde för x = 0. Gränsvärdena från vänster och höger finns dock, med värdena 0 och 1.

Strikt definition[redigera | redigera wikitext]

Ett reellt tal A är ett gränsvärde för funktionen f(x) då funktionens argument x närmar sig det reella talet a, om och endast om man kan få det reella talet f(x) att ligga hur nära talet A som helst genom att se till att talet x ligger tillräckligt nära talet a.

Säg att vi vill att f(x) skall befinna sig inom avståndet ε från talet A, det vill säga att absolutbeloppet |f(x) - A| < ε. Då måste vi se till att talet x ligger tillräckligt nära talet a. Hur nära x behöver vara beror på hur litet vi kräver att avståndet ε skall vara, varför vi kan beteckna avståndet för x (kallat δ) som en funktion av avståndet för f(x) (kallat ε): δ(ε).

Formellt skriver man detta på följande sätt.

(\forall \, \varepsilon > 0, \, \exists \,\delta(\varepsilon)>0) \, \Big( 0 < \vert x - a \vert < \delta(\varepsilon) \quad \Rightarrow \quad \vert f(x) - A \vert < \varepsilon\Big)

Vi skall nu hitta ett sådant δ(ε) att funktionsvärdet f(x) skiljer sig från A med mindre än ε så länge x skiljer från a med mindre än δ. Om man klarar att hitta en funktion som uppfyller villkoret för varje ε har man bevisat att gränsvärdet existerar och är A.


Alternativ definition[redigera | redigera wikitext]

Det finns även en alternativ definition av gränsvärde där man i ovanstående ersätter 0 < |x-a| < δ med |x-a| < δ. Denna definition förekommer i boken "Analys i en variabel" av Arne Persson och Lars-Christer Böiers. Man bör dock vara medveten om att denna alternativa definition inte är allmänt accepterad.

Om funktionen inte är definierad i a finns ingen skillnad mellan de två definitionerna, men om funktionen är definierad i a skärper den alternativa definitionen kraven på A och f så att det även krävs att funktionsvärdet f(a) ska sammanfalla med gränsvärdet A, det vill säga att f ska vara kontinuerlig i a.

Se även[redigera | redigera wikitext]