Gränsvärde

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Den här artikeln handlar om gränsvärden inom matematiken. För gränsvärden av farliga ämnen, se Gränsvärde (arbetsmiljö).
arctan(x) är begränsad till ±π/2

Ett gränsvärde (limes) för en funktion beskriver funktionens värde när dess argument kommer tillräckligt nära en viss punkt eller växer sig oändligt (eller tillräckligt) stora. Gränsvärden används inom matematisk analys, bland annat för att definiera kontinuitet och derivata.

För gränsvärden används notationen

\lim_{x \rightarrow a} f(x) = A

alternativt f(x) → Axa.

Båda utläses som ”gränsvärdet av f(x) då x går mot a är lika med A” eller ”limes av f(x) …”, alternativt ”f(x) går mot Ax går mot a”, och innebär att när x är "nästan a" kommer f(x) att vara "nästan A".

Funktioner av en variabel[redigera | redigera wikitext]

Parametrar för (ε, δ)-definitionen av gränsvärde

Antag att f : RR är definierad på den reella tallinjen och att a, AR. Gränsvärdet av f, då x närmar sig a, är A och skrivs

 \lim_{x \to a}f(x) = A

om villkoret

För varje reellt ε > 0, existerar ett reellt δ > 0 sådant att för alla reella x, 0 < | x − a | < δ impliceras | f(x) − A | < ε

är uppfyllt. Formellt kan villkoret skrivas

 (\exists \, \varepsilon > 0, \, \forall \,\delta > 0) \, \Big( 0 < \vert x - a \vert < \delta \,\, \Rightarrow \,\, \vert f(x) - A\vert < \varepsilon\Big)

Gränsvärdet beror inte av värdet av f(a), eller ens av att a tillhör f:s definitionsmängd.

Mer generella definitioner är tillämpbara på delmängder av den reella linjen. Låt (ab) vara ett öppet intervall i R och låt p vara en punkt som tillhör (ab). Låt f vara en reellvärd funktion definierad på alla (ab) utom möjligen p själv. Det sägs då att gränsvärdet av f, då x närmar sig p, är A om, för varje reellt ε > 0, det existerar ett reellt δ > 0 sådant att 0 < | x − p | < δ där x ∈ (ab) implikerar | f(x) − A | < ε.

Även här beror inte gränsvärdet av att f(p) är väldefinierad. Om till exempel

 f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}

är f(1) odefinierad, men om x närmar sig 1 tillräckligt mycket, kommer f(x) att närma sig 2:

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.900 1.990 1.999 odefinierad 2.001 2.010 2.100

Således kan f(x) närma sig 2 obegränsat genom att x obegränsat närmar sig 1. Med andra ord är

 \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 2

vilket enkelt inses om täljaren faktoriseras.

(ε, δ)-definitionen[redigera | redigera wikitext]

Cauchy omkring 1840

Augustin Louis Cauchy,[1] följd av Karl Weierstrass, formaliserade 1821 definitionen av en funktions gränsvärde, vilken under 1800-talet blev känd som (ε, δ)-definitionen för gränsvärden.

Definitionen använder ε för att representera ett litet positivt tal, så att "f(x) kommer godtyckligt nära A" vilket betyder att f(x) eventuellt ligger i intervallet (A − ε, A + ε).[1] Frasen ”när x närmar sig c" refererar till värden av x vars avstånd till c är mindre än ett visst tal δ:

c-\delta < x < c+\delta

Ett exempel på tillämpning av (ε, δ)-definitionen är ett bevis [2] för att varje linjär funktion

f(x) =a\,x + b\quad (a, b)\in \mathrm R, a \ne 0

är kontinuerlig i varje punkt. Vad som skall visas är att för varje ε > 0 finns ett δ > 0 sådant att när

|x-x_0|<\delta

då är

|f(x)-f(x_0| < \epsilon

Nu är

|f(x) - f(x_0)| = |a\,x + b -(a\,x_0 + b)| = |a\,x - a\,x_0| = |a||x - x_0|

Det är tydligt att

|x-x_0| < \frac{\epsilon}{|a|}

implicerar

|f(x)-f(x_0|<|a|\frac{\epsilon}{|a|}=\epsilon

Därmed uppfyller

\delta = \frac{\epsilon}{|a|}

kraven för alla ε > 0.

Funktioner av flera variabler[redigera | redigera wikitext]

f(x,y)=\frac{x^2 y}{x^4+y^2}

Genom att intervallet |x − p| representerar ett avstånd, kan definitionen av gränsvärden för funktioner av en variabel utsträckas till funktioner av flera variabler.

I fallet med en funktion f : R2R, existerar gränsvärdet

\lim_{(x,y) \to (p, q)} f(x, y) = A
om det för varje ε > 0 existerar ett δ > 0 sådant att för alla
(x, y) med 0 < ||(x, y) − (p, q)|| < δ, är |f(x, y) − A| < ε
där ||(x, y) − (p, q)|| representerar det euklidiska avståndet.

Förfarandet kan utökas till godtyckligt antal variabler.

Gränsvärden och oändligheter[redigera | redigera wikitext]

Gränsvärden vid oändligheten[redigera | redigera wikitext]

Funktionens gränsvärde existerar vid oändligheten

För den reella funktionen f(x) , betecknas "gränsvärdet av fx går mot oändligheten är A"

 \lim_{x \to \infty}f(x) = A

vilket betyder att för alla \varepsilon > 0, existerar ett a sådant att

|f(x) - A| < \varepsilon

när x > a. Eller, symboliskt:

\forall \varepsilon > 0 \; \exists a \; \forall x > a :\; |f(x) - A| < \varepsilon

På liknande sätt betecknas "gränsvärdet av fx går mot negativa oändligheten är A"

 \lim_{x \to -\infty}f(x) = A

vilket betyder att för alla \varepsilon > 0 existerar ett a sådant att |f(x) - A| < \varepsilon närhelst x < a. Eller i symbolisk form:

\forall \varepsilon > 0 \; \exists a \; \forall x < a :\; |f(x) - A| < \varepsilon
Oändliga gränsvärden för 1/x i en omgivning till 0

Exempelvis är

 \lim_{x \to -\infty}e^x = 0

Oändliga gränsvärden[redigera | redigera wikitext]

Gränsvärden kan också anta oändliga värden (dessa kallas oftast oegentliga gränsvärden). Till exempel betecknas "gränsvärdet av fx går mot oändligheten"

 \lim_{x \to a} f(x) = \infty

vilket betyder att för alla \varepsilon > 0 existerar ett \delta > 0 sådant att f(x) > \varepsilon när |x - a| < \delta.

Ensidiga gränsvärden[redigera | redigera wikitext]

Gränsvärdena då xx0+ respektive xx0 är olika. Därför existerar inte gränsvärdet för xx0
Funktionen sin 1/x saknar gränsvärde då x → 0

En funktion kan i en given punkt ha två skilda gränsvärden; ett vänstergränsvärde då x närmar sig punkten ”från vänster” genom ökande värden och ett högergränsvärde då x närmar sig punkten "från höger" genom minskande värden.

De två gränsvärdena för en reell funktion f(x) av en reell variabel x betecknas med endera av

\lim_{x\to a^+}f(x),\quad \lim_{x\downarrow a}\,f(x),\quad \lim_{x \searrow a}\,f(x),\quad \lim_{x \underset{>}{\to} a}f(x)

när x är minskande, eller med endera av

\lim_{x\to a^-}f(x),\quad \lim_{x\uparrow a}\, f(x),\quad\lim_{x \nearrow a}\,f(x),\quad \lim_{x \underset{<}{\to} a}f(x)

när x är ökande.

De två ensidiga gränsvärdena existerar och är lika om gränsvärdet till f(x) existerar när x närmar sig a. I vissa fall när gränsvärdet

\lim_{x\to a} f(x)\,

inte existerar, kan höger- och vänstergränsvärden ändå existera.

Högergränsvärdet kan rigoröst definieras enligt

\forall\varepsilon > 0\;\exists \delta >0 \;\forall x \in I \;(0 < x - a < \delta \Rightarrow |f(x) - A|<\varepsilon)

och vänstergränsvärdet som

\forall\varepsilon > 0\;\exists \delta >0 \;\forall x \in I \;(0 < a - x < \delta \Rightarrow |f(x) - A|<\varepsilon)

där I representerar något intervall i f:s definitionsmängd.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

\frac{1}{1 + 2^{-1/x}}
\frac{\sin x}{x}

Ett exempel på en funktion som har olika höger- och vänstergränsvärden är

\lim_{x \to 0^+}{1 \over 1 + 2^{-1/x}} = 1

medan däremot

\lim_{x \to 0^-}{1 \over 1 + 2^{-1/x}} = 0

Standardgränsvärden[redigera | redigera wikitext]

Vissa gränsvärden är särskilt användbara för att bland annat beräkna andra gränsvärden och brukar refereras till som standardgränsvärden, vilka dock inte utgör någon entydigt bestämd grupp. Ett beräkningsuttryck för ett okänt gränsvärde transformeras, om möjligt, så att gränsvärdesdelarna reduceras till ett eller flera standardgränsvärden varefter det sökta gränsvärdet enkelt kan beräknas. En lista över några sådana användbara gränsvärden:

  • \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
  • \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1
  • \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1
  • \lim_{n \to \infty} \frac{n^a}{b^n} = 0 \quad b>1
  • \lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0
  • \lim_{x \to \infty} \left (1 + \frac{z}{x}\right )^x = e^z
\lim_{n \rightarrow \infty} {n!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} } = 1

Exempel på användning av standardgränsvärde[redigera | redigera wikitext]

Beräkning av

\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{7x}

Direkt substitution ger det obestämda uttrycket \left[\frac{0}{0}\right]. Gör istället substitutionen

t = 5x\ \rightarrow x = \cfrac{t}{5}\quad \Rightarrow
\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{7\cdot\cfrac{t}{5}} = \frac{5}{7}\cdot\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t} = \frac{5}{7}\cdot 1 = \frac{5}{7}

där standardgränsvärdet

\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t} = 1

använts.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ [a b] Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable (Ninth). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2. 
  2. ^ Barile, Margherita. "Epsilon-Delta Proof." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein.http://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaProof.html

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Hylten-Cavallius Sandgren, Matematisk analys, Studentlitteratur 1968