Hölderkontinuitet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematik sägs en funktion f \mathbb{R}^d vara Hölderkontinuerlig eller uppfylla ett Höldervillkor om det finns konstanter C och  \alpha så att

\forall x,y \in \mathbb{R}^d, ~~ |f(x)-f(y)| \leq C|x-y|^\alpha.

Detta kan generaliseras till funktioner mellan metriska rum; om g är en funktion från metriska rummet (X,d_X) till  (Y, d_Y) så är g Hölderkontinuerlig om det finns konstanter C och  \alpha så att:

\forall x,y \in X, ~~ d_Y(f(x),f(y)) \leq C(d_X(x,y))^\alpha.

Speciellt, om  \alpha = 1 är funktionen Lipschitzkontinuerlig och om  \alpha = 0 är funktionen en begränsad funktion.

Inom funktionalanalys studeras Hölderrum i syfte att lösa partiella differentialekvationer. Hölderrummet  C^{n, \alpha}(\Omega) , där  \Omega är en öppen delmängd till något euklidiskt rum och n något naturligt tal, består av funktioner som har derivator upp till ordning n så att n:te ordningens partiella derivatorer är Hölderkontinuerliga med exponent  \alpha , där  0 < \alpha \leq 1 .