Hölders olikhet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Hölders olikhet (efter Otto Hölder) är en olikhet för integraler och serier inom den gren av matematik som kallas funktionalanalys, och kan ses som en generalisering av Cauchy–Schwarz olikhet. Olikheten är ett viktigt resultat i studiet av Lp-rum, där den används för att visa Minkowskis olikhet (vilket är triangelolikheten för Lp-rum och är nödvändig för att visa att rummen är normerade rum), samt ett antal andra uppskattningar.

Formulering[redigera | redigera wikitext]

Låt (S,Σ,μ) vara ett måttrum och låt med . För mätbara funktioner, reell- eller komplexvärda, definieras Lp-normen som

Hölders olikhet ges nu av följande påstående:

Detta kan också skrivas på integralform som

Eftersom en oändlig summa även kan ses som en integral (om man låter man och μ vara räknemåttet) så kan Hölders olikhet även formuleras för reella och komplexa talföljder (element i eller ). Då fås följande olikhet:

Kommentarer[redigera | redigera wikitext]

I definitionen ovan betyder noll. För definieras uttrycket som

det vill säga infimum av , där g tillhör mängden av funktioner som är lika med f nästan överallt.

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.