Haarmått

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Haarmått är ett mått i lokalt kompakta topologiska grupper så att det är volyminvariant. Till exempel är Lebesguemåttet Haarmåttet i \R^n.

Translation-invariant mått[redigera | redigera wikitext]

Låt (G,\circ) vara en grupp.

Om A \subset G och g \in G kallas mängden

gA = g \circ A := \{g \circ a : a \in A\}

för vänstertranslationen för A och mängden

Ag = A \circ g := \{a \circ g : a \in A\}

för högertranslationen för A.

En sigma-algebra \mathcal{F} \, i G\, är vänstertranslationsinvariant om

för alla A \in \mathcal{F} och g \in G\, är gA \in \mathcal{F},

likartat kan man definiera egenskapen att en sigmaalgebra är högertranslationsinvariant.

Om \mathcal{F} \, är en vänstertranslationsinvariant sigma-algebra så är måttet \mu : \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty] vänstertranslationsinvariant om

för alla A \in \mathcal{F} och g \in G\, är \mu (gA) = \mu (A)\, ,

likartat kan man definiera att ett mått är högertranslationsinvariant.

Haarmått[redigera | redigera wikitext]

Låt (G,\circ) vara en lokalt kompakt topologisk grupp, dvs

Då är Borelmängderna \mbox{Bor} \, G en vänster- och högertranslationsinvariant sigma-algebra.

Det går att visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett Radonmått

\mu_v : \mbox{Bor} \, G \rightarrow [0,\infty]

som är vänstertranslationsinvariant. Vi kallar detta mått vänster-Haarmåttet.

Man kan även visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett Radonmått

\mu_h : \mbox{Bor} \, G \rightarrow [0,\infty]

som är vänster-translation-invariant som kallas höger-Haarmåttet.

Med utan konstant menas att Radonmåttet \mu \, i G \, är vänstertranslationsinvariant om och endast om det finns c \geq 0 så att \mu = c\mu_v\,, likaså för det högertranslationsinvarianta måttet.

Det finns grupper G \, där \mu_v \neq \mu_h\,, men om

\mu_v = \mu_h\,

i G \, kallar vi måttet

\mathfrak{h}_G := \mu_v = \mu_h

för Haarmåttet.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • Rummet (\R^n,+) är en lokalt kompakt topologisk grupp med normtopologi. Dessutom är Lebesguemåttet över Borelmängder höger- och vänstertranslationsinvariant, dvs
för alla A \in \mbox{Bor} \, \R^n och x \in \R^n\, gäller att \mathcal{L}^n (x+A) = \mathcal{L}^n (A) = \mathcal{L}^n (A + x)\,.

Så att Lebesguemåttet är Haarmåttet i \R^n:

\mathfrak{h}_{\R^n} = \mathcal{L}^n.

Detta innebär också att Lebesguemåttet är (utan konstant) det enda höger- och vänstertranslationsinvarianta måttet i \R^n.

\mathfrak{h}_{O(n)} = \theta_n .

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Paul Halmos (1950), Measure Theory, D. van Nostrand and Co.
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.