Haarmått

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Haarmått är ett mått i lokalt kompakta topologiska grupper så att det är volyminvariant. Till exempel är Lebesguemåttet Haarmåttet i .

Translation-invariant mått[redigera | redigera wikitext]

Låt vara en grupp.

Om och kallas mängden

för vänstertranslationen för A och mängden

för högertranslationen för A.

En sigma-algebra i är vänstertranslationsinvariant om

för alla och är ,

likartat kan man definiera egenskapen att en sigmaalgebra är högertranslationsinvariant.

Om är en vänstertranslationsinvariant sigma-algebra så är måttet vänstertranslationsinvariant om

för alla och är ,

likartat kan man definiera att ett mått är högertranslationsinvariant.

Haarmått[redigera | redigera wikitext]

Låt vara en lokalt kompakt topologisk grupp, dvs

  • paret är en grupp,
  • rummet är ett lokalt kompakt topologiskt rum
  • avbildningen är kontinuerlig (i produkttopologin) och
  • avbildningen är kontinuerlig.

Då är Borelmängderna en vänster- och högertranslationsinvariant sigma-algebra.

Det går att visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett Radonmått

som är vänstertranslationsinvariant. Vi kallar detta mått vänster-Haarmåttet.

Man kan även visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett Radonmått

som är vänster-translation-invariant som kallas höger-Haarmåttet.

Med utan konstant menas att Radonmåttet i är vänstertranslationsinvariant om och endast om det finns så att , likaså för det högertranslationsinvarianta måttet.

Det finns grupper där , men om

i kallar vi måttet

för Haarmåttet.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • Givet ett höger-Haarmått kan ett möjligen nytt höger-Haarmått skapas genom att definiera

där är ett element i den överliggande gruppen och är en Borelmängd. Då alla höger-Haarmått på en grupp är unika upp till en konstant finns således ett reellt tal sådant att

Eftersom ett nytt höger-Haarmått kan skapas för varje element i gruppen så kan ses som en funktion från gruppen till de positiva reella talen och brukar kallas modulärfunktionen. Notera att modulärfunktionen är oberoende av vilket höger-Haarmått som väljs för att definiera den eftersom givet två höger-Haarmått och så finns det en konstant så att . Detta ger

  • Om gruppen är en abelsk grupp så är .

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • Rummet är en lokalt kompakt topologisk grupp med normtopologi. Dessutom är Lebesguemåttet över Borelmängder höger- och vänstertranslationsinvariant, dvs
för alla och gäller att .

Så att Lebesguemåttet är Haarmåttet i :

.

Detta innebär också att Lebesguemåttet är (utan konstant) det enda höger- och vänstertranslationsinvarianta måttet i .

.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • Paul Halmos (1950), Measure Theory, D. van Nostrand and Co.
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.