Harmoniskt tal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är det n:te harmoniska talet summan av reciprokerna av de n första naturliga talen:

Harmoniska tal är viktiga inom talteori och är nära relaterade till Riemanns zetafunktion och andra speciella funktioner.

Identiteter för harmoniska tal[redigera | redigera wikitext]

Direkt av harmoniska talens definition följer differensekvationen

Summan av de n första harmoniska talen ges av

Harmoniska talen är relaterade till Stirlingtalen av andra ordningen enligt formeln

Beräkning[redigera | redigera wikitext]

En integralrepresentation av Euler är

Representationen ovan kan bevisas genom att använda identiteten

och integrera termvis.

Genom variabelbytet x = 1−u kan man få ett elegant kombinatoriskt uttryck för Hn :

Samma representation kan fås genom attanvända den tredje av Retkes identiteter genom att låta och använda :

Grafen visar sambandet mellan harmoniska talen och naturliga logaritmen.

Det nte harmoniska talet växer ungefär lika snabbt som naturliga logaritmen ur n. Orsanken till detta är att

vars värde är ln(n).

Värdena av följden Hn - ln(n) minskar monotont mot gränsvärdet

där γ ≈ 0.5772156649 är Eulers konstant. Asymptotiska expansionen då n → ∞ är

där är Bernoullitalen.

Harmoniska tal som en oändlig serie[redigera | redigera wikitext]

Det n-te harmoniska talet kan skrivas som en oändlig serie på följande vis:

Förekomst[redigera | redigera wikitext]

Harmoniska talen förekommer ofta inom talteori och teorin av speciella funktioner såsom i följande formel för digammafunktionen:

Denna relation används ofta som definitionen av harmoniska tal för icke-heltal used n. Harmoniska talen används också ofta till att definiera Eulers konstant γ genom gränsvärdet ovan även om

konvergerar snabbare.

2002 bevisade Jeffrey Lagarias att Riemannhypotesen är ekvivalent till att

gäller för varje heltal n ≥ 1 med strikt olikhet om n > 1, där σ(n) är sigmafunktionen.

Egenvärdena av det icke-lokala problemet

ges av där

Genererande funktioner[redigera | redigera wikitext]

Harmoniska talens genererande funktion är

En exponentiell genererande funktion ges av

där Ein(z) är exponentiella integralen. Notera att

där Γ(0, z) är ofullständiga gammafunktionen.

Generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Hyperharmoniska tal[redigera | redigera wikitext]

J. H. Conway och R. K. Guy har presenterat följande generalisering av harmoniska talen: låt

Då är det nte hyperhermoniska talet av ordning r (r>0)

Speciellt är .

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Harmonic number, 19 december 2013.

Se även[redigera | redigera wikitext]