Heine–Cantors sats

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Heine-Cantors sats)
Hoppa till: navigering, sök

Heine–Cantors sats är en matematisk sats uppkallad efter Georg Cantor och Eduard Heine som säger att om M är ett kompakt metriskt rum är varje kontinuerlig funktion , där N är ett metriskt rum, likformigt kontinuerlig.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Låt vara en funktion från M med metrik d till N med metrik p. Att f skulle vara likformigt kontinuerlig innebär

antag nu att f inte är likformigt kontinuerlig, dvs:

Välj två följder, och så att:

och

M är kompakt existerar det (Bolzano–Weierstrass sats) två delföljder som konvergerar

så det följer att:

den första delen ger att och den andra säger att , vilket uppenbarligen är en motsägelse.