Heine–Cantors sats är en matematisk sats uppkallad efter Georg Cantor och Eduard Heine som säger att om M är ett kompakt metriskt rum är varje kontinuerlig funktion
, där N är ett metriskt rum, likformigt kontinuerlig.
Låt
vara en funktion från M med metrik d till N med metrik p.
Att f skulle vara likformigt kontinuerlig innebär

antag nu att f inte är likformigt kontinuerlig, dvs:

Välj två följder,
och
så att:
och 
Då M är kompakt existerar det (Bolzano–Weierstrass sats) två delföljder som konvergerar

så det följer att:

den första delen ger att
och den andra säger att
, vilket uppenbarligen är en motsägelse.