Heine–Cantors sats

Heine–Cantors sats är en matematisk sats uppkallad efter Georg Cantor och Eduard Heine som säger att om M är ett kompakt metriskt rum är varje kontinuerlig funktion $f:M\to N$$f:M\to N$, där N är ett metriskt rum, likformigt kontinuerlig.

Bevis

Låt $f:M\to N$$f:M\to N$ vara en funktion från M med metrik d till N med metrik p. Att f skulle vara likformigt kontinuerlig innebär

$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0:d(x,y)<\delta \Rightarrow p(f(x),f(y))<\varepsilon ~~\forall x,y\in M$$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0:d(x,y)<\delta \Rightarrow p(f(x),f(y))<\varepsilon ~~\forall x,y\in M$

antag nu att f inte är likformigt kontinuerlig, dvs:

$\exists \varepsilon _{0}:\forall \delta >0\exists x,y\in M:d(x,y)<\delta ~\mathrm {och} ~p(f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}.$$\exists \varepsilon _{0}:\forall \delta >0\exists x,y\in M:d(x,y)<\delta ~\mathrm {och} ~p(f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}.$

Välj två följder, $x_{n}$$x_{n}$ och $y_{n}$$y_{n}$ så att:

$d(x_{n},y_{n})={\frac {1}{n}}$$d(x_{n},y_{n})={\frac {1}{n}}$ och $p(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}.$$p(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}.$

Då M är kompakt existerar det (Bolzano–Weierstrass sats) två delföljder som konvergerar

$x_{n_{k}}\to x_{0}\in M~\mathrm {och} ~y_{n_{k}}\to y_{0}\in M$$x_{n_{k}}\to x_{0}\in M~\mathrm {och} ~y_{n_{k}}\to y_{0}\in M$

så det följer att:

$d(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\Rightarrow p(f(x_{n_{k}}),f(y_{n_{k}}))\geq \varepsilon _{0}$$d(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\Rightarrow p(f(x_{n_{k}}),f(y_{n_{k}}))\geq \varepsilon _{0}$

den första delen ger att $x_{0}=y_{0}$$x_{0}=y_{0}$ och den andra säger att $f(x_{0})\neq f(y_{0})$$f(x_{0})\neq f(y_{0})$, vilket uppenbarligen är en motsägelse.