Hermitesk matris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En hermitesk matris, uppkallad efter franske 1800-talsmatematikern Charles Hermite, är inom matematiken den komplexa motsvarigheten till en symmetrisk matris med reella element, närmare bestämt är en matris hermitesk om den är lika med sitt hermiteska konjugat.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En matris A säges vara hermitesk om AH = A, där AH betecknar den matris som fås av att ersätta A-transponats alla element med sina komplexa konjugat; AH är det hermiteska konjugatet. I en hermitesk matris är elementet i rad i och kolumn j alltså lika med det komplexa konjugatet av elementet i rad j och kolumn i:

a_{ij} = \overline{a_{ji}}\,.

Notera också att eftersom elementen i matrisens diagonal är lika med sina komplexa konjugat är dessa alltid reella.

Hermiteska matriser kan karaktäriseras på olika sätt, följande villkor är var för sig ekvivalenta med att A är en n × n hermitesk matris:


Exempel[redigera | redigera wikitext]


A=
\begin{pmatrix}
3 & i & 1-i \\
-i & 5 & 2+i \\
1+i & 2-i & 1 
\end{pmatrix}

A är hermitesk, ty:


A^H =
\begin{pmatrix}
3 & i & 1-i \\
-i & 5 & 2+i \\
1+i & 2-i & 1
\end{pmatrix}
= A

Reella egenvärden[redigera | redigera wikitext]

En hermitesk matris har endast reella egenvärden.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Låt A vara en hermitesk matris med icke-trivial egenvektor x och tillhörande egenvärde \lambda, alltså  Ax=\lambda x.

A är hermitesk, dvs A^H=A, får vi:

 \lambda \|x\|^2= \lambda x^Hx= x^H(\lambda x)=x^HAx=x^HA^Hx=(Ax)^Hx=(\lambda x)^Hx=\lambda^H x^H x=\lambda^H\|x\|^2=\bar{\lambda}        \|x\|^2
(\lambda-\bar{\lambda})\|x\|^2=0
x\ne0 \Rightarrow \|x\|^2 \ne 0 \Rightarrow \lambda-\bar{\lambda}=0
\lambda =\bar{\lambda}

dvs  \lambda är reell.

Referenser[redigera | redigera wikitext]