Householdertransformation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En Householdertransformation är inom matematiken, specifikt linjär algebra, en avbildning som i ett tredimensionellt vektorrum med skalärprodukt reflekterar en vektor i ett plan (som innehåller origo, ett underrum). Detta kan generaliseras till alla ändligtdimensionella vektorrum som reflektion av en vektor i ett hyperplan som innehåller origo.

Transformationen kan även generaliseras till allmänna inre produktrum och kallas då Householderoperator. Transformen introducerades av Alston Scott Householder 1958.

Konstruktion och egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Ett hyperplan kan definieras med dess normerade normalvektor, (vektorn av längd 1 som är ortogonal till hyperplanet). Då ges Householdermatrisen av:

Där är enhetsmatrisen och är det hermiteska konjugatet av . reflekterar en punkt i , ty:

Där är skalärprodukten. Detta på grund av att ger avståndet mellan och .

har ett antal bra egenskaper:

  • är hermitesk: .
  • är unitär: .
  • Av detta följer att är sin egen invers: .

Vilket stämmer bra då reflektionen av :s reflektion måste vara .

Användning[redigera | redigera wikitext]

Householdertransformationer kan användas för att QR-faktorisera en matris.