Hurwitzs zetafunktion

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Hurwitzs zeta-funktion)
Hoppa till: navigering, sök

Hurwitzs zetafunktion är en speciell funktion som generaliserar Riemanns zetafunktion. Den är uppkallad efter Adolf Hurwitz. Då Re(s) > 1 och Re(q) > 0 är dess definition

Serierepresentation[redigera | redigera wikitext]

En serierepresentation för q > −1 och alla komplexa s ≠ 1 av Helmut Hasse år 1930:

Taylorserie[redigera | redigera wikitext]

Taylorserien för Hurwitzs zetafunktion är


Laurentserie[redigera | redigera wikitext]

Laurentserien för är:

där är Stieltjeskonstanterna:

Fourierserie[redigera | redigera wikitext]

Integralrepresentationer[redigera | redigera wikitext]

och kan Hurwitzs zetafunktion skrivas som

En annan integral är

som gäller för .

Hurwitzs formel[redigera | redigera wikitext]

Hurwitzs formel är teoremet

där

är en representation som gäller för and s > 1. Här är polylogaritmen.

Funktionalekvation[redigera | redigera wikitext]

För alla och gäller


Speciella värden[redigera | redigera wikitext]

G är Catalans konstant.

Relation till andra funktioner[redigera | redigera wikitext]

Bernoullipolynomen[redigera | redigera wikitext]

Hurwitz zeta-funktion är relaterad till Bernoullipolynomen enligt

Jacobis thetafunktion[redigera | redigera wikitext]

Om är Jacobis thetafunktion är

Specialfall och generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Hurwitzs zeta-funktion vid icke-negativa heltal m är relaterad till polygammafunktionen:

För negativa heltal −n kan Hurwitzs zetafunktion uttryckas med hjälp av Bernoullipolynomen:

Barnes zetafunktion är en generalisering av Hurwitzs zetafunktion.

En annan generalisering är Lerchs transcendent:

Andra generaliseringar är generaliserade hypergeometriska funktionen

där

samt Meijers G-funktion

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hurwitz zeta function, 11 oktober 2013.
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia, Hurwitzsche Zeta-Funktion, 15 november 2013.



Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.