Hyperbel

Från Wikipedia
Version från den 30 oktober 2014 kl. 01.49 av Svjo (Diskussion | Bidrag) (länkfix)
Hyperbel med brännpunkterna F1 och F2

En hyperbel är den geometriska orten för en punkt P i planet, vars avstånd till två givna punkter, brännpunkterna F1 och F2, har en konstant skillnad. Hyperbeln är ett av kägelsnitten.

Hyperbeln, som består av två oändliga grenar, är symmetrisk i förhållande till transversalaxeln, på vilken brännpunkterna ligger och konjugataxeln. Axlarnas skärningspunkt kallas medelpunkt och genom denna går hyperbelns två asymptoter.

Ett mått på hyperbelns form är dess excentricitet e = c/a, där c är halva avståndet mellan brännpunkterna och a är avståndet från medelpunkten till skärningspunkterna med transversalaxeln. Ju större excentriciteten är desto större är vinkeln mellan asymptoterna.

Ekvationer

Transversalaxeln är den horisontella axeln och konjugataxeln den vertikala
a — avståndet från centrum C till skärningspunkterna med transversalaxeln
e — excentriciteten
D1 och D2 kallas styrlinjer och kan användas för konstruktion av hyperbeln enligt sambandet PF1 = e PD1

Väljs sammanbindningslinjen mellan brännpunkterna till x-axel och dess mittpunktsnormal till y-axel, blir hyperbelns ekvation

Om A1 och A2 är skärningspunkterna med x-axeln är

Med

definieras excentriciteten som

Asymptoter

Linjerna

är hyperbelns asymptoter.

För den liksidiga hyperbeln är asymptoterna vinkelräta mot varandra.

Tangenter

Tangenten i punkten (x1, y1) är

Normaler

Normalen i punkten (x1, y1) är

Krökningsradie

Krökningsradien är

Konstruktion

Brännpunkterna givna Axlarna givna
Brännpunkterna givna
Axlarna givna

Brännpunkterna givna

Låt F1 och F2 vara brännpunkterna. Drag en cirkel med godtycklig radie F2A = r med F2 som medelpunkt. Drag sedan cirkeln med radien r-2a där a är avståndet till skärningspunkten med transversalaxeln och med F1 som medelpunkt. Cirklarna skär varandra i C1 och C2 som är punkter på hyperbeln.

Axlarna givna

Drag från punkten OA = a tangenten AT1 och från punkten OB = b tangenten BT2. Drag en godtycklig linje genom O som skär tangenterna i C och D. Avsätt sträckan OE = OD. Dras PE vinkelrätt mot OE och CP vinkerätt mot PE är P en hyperbelpunkt.