Hyperbolisk funktion

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Sinh (röd), cosh (grön) och tanh (blå).
Koppling mellan hyperbler och de hyperboliska funktionerna. Varje punkt på högra delen av hyperbeln har koordinaten (cosh a, sinh a) där a är dubbla rödmarkerade arean i figuren.

Inom matematiken är de hyperboliska funktionerna nära besläktade med de trigonometriska funktionerna, vilket antyds av deras benämningar:

  • sinus hyperbolicus (sinh)
  • cosinus hyperbolicus (cosh)
  • tangens hyperbolicus (tanh)
  • secans hyperbolicus (sech)
  • cosecans hyperbolicus (csch)
  • cotangens hyperbolicus (coth)

sech och csch används sällan.

Definition[redigera | redigera wikitext]

De hyperboliska funktionernas definitioner är

Vid jämförelse med Eulers formler, framgår att enligt definitionerna av cosh och cos är skillnaden att vinkeln är multiplicerad med komplexa enheten i; motsvarande gäller för sin och sinh:

och därmed kan de trigonometriska funktionerna – ur ett analytiskt perspektiv – betraktas som utvidgningar av de hyperboliska funktionerna till det komplexa talplanet. Ur ett geometriskt perspektiv är dock de trigonometriska funktionerna mer grundläggande och man kan då – ur denna synvinkel – betrakta de hyperboliska funktionerna som utvidgningar till det komplexa talplanet av trigonometriska funktioner.

Taylorserie[redigera | redigera wikitext]

Utveckling av sinh och cosh i en taylorserie kan göras med hjälp av serieutvecklingar av exponentialfunktionen:

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

Motsvarigheten till trigonometriska ettan, kallad hyperboliska ettan:

sinh är udda, cosh är jämn:

Summor:

Inversa funktioner[redigera | redigera wikitext]

De hyperboliska funktionernas inverser benämns area hyperbolicus eller arcus hyperbolicus. Dock kan varje sådan invers-funktion skrivas med hjälp av logaritmer:

Speciellt gäller att arcsinh är entydigt definierad för hela ℝ till skillnad från inverserna av de trigonometriska funktionerna där man undviker flertydighet genom att införa begreppet principalvärde.

Derivator[redigera | redigera wikitext]

Se även[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]

  • GonioLab: Visualisering av enhetscirkeln, trigonometriska och hyperboliska funktioner (Java Web Start)
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.