Hyperbolisk funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Sinh (röd), cosh (grön) och tanh (blå).
Koppling mellan hyperbler och de hyperboliska funktionerna. Varje punkt på högra delen av hyperbeln har koordinaten (cosh a, sinh a) där a är dubbla rödmarkerade arean i figuren.

Inom matematiken är de hyperboliska funktionerna nära besläktade med de trigonometriska funktionerna, vilket antyds av deras benämningar:

  • sinus hyperbolicus (sinh)
  • cosinus hyperbolicus (cosh)
  • tangens hyperbolicus (tanh)
  • secans hyperbolicus (sech)
  • cosecans hyperbolicus (csch)
  • cotangens hyperbolicus (coth)

sech och csch används sällan.

Definition[redigera | redigera wikitext]

De hyperboliska funktionernas definitioner är

Vid jämförelse med Eulers formler, framgår att enligt definitionerna av cosh och cos är skillnaden att vinkeln är multiplicerad med komplexa enheten i; motsvarande gäller för sin och sinh:

och därmed kan de trigonometriska funktionerna – ur ett analytiskt perspektiv – betraktas som utvidgningar av de hyperboliska funktionerna till det komplexa talplanet. Ur ett geometriskt perspektiv är dock de trigonometriska funktionerna mer grundläggande och man kan då – ur denna synvinkel – betrakta de hyperboliska funktionerna som utvidgningar till det komplexa talplanet av trigonometriska funktioner.

Taylorserie[redigera | redigera wikitext]

Utveckling av sinh och cosh i en taylorserie kan göras med hjälp av serieutvecklingar av exponentialfunktionen:

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

Motsvarigheten till trigonometriska ettan, kallad hyperboliska ettan:

sinh är udda, cosh är jämn:

Summor:

Inversa funktioner[redigera | redigera wikitext]

De trigonometriska funktionernas inverser benämns area hyperbolicus eller arcus hyperbolicus. Dock kan varje sådan invers-funktion skrivas med hjälp av logaritmer:

Speciellt gäller att arcsinh är entydigt definierad för hela ℝ till skillnad från inverserna av de trigonometriska funktionerna där man undviker flertydighet genom att införa begreppet principalvärde.

Derivator[redigera | redigera wikitext]

Se även[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]

  • GonioLab: Visualisering av enhetscirkeln, trigonometriska och hyperboliska funktioner (Java Web Start)
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.