Hyperperfekt tal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är ett k-hyperperfekt tal ett naturligt tal n för vilka likheten n = 1 + k(σ(n) − n − 1) innehar, där σ(n) är sigmafunktionen (det vill säga summan av alla positiva delare av n). Ett hyperperfekt tal är ett k-hyperperfekt tal för något heltal k. Hyperperfekta tal generaliserar perfekta tal, som är 1-hyperperfekta.

De första talen i talföljden av k-hyperperfekta tal är:

6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, 1333, 1909, 2041, 2133, 3901, 8128, 10693, 16513, 19521, 24601, 26977, 51301, 96361, 130153, 159841, 163201, 176661, 214273, 250321, 275833, 296341, 306181, 389593, 486877, 495529, 542413, 808861, 1005421, 1005649, 1055833, … (talföljd A034897 i OEIS)

med motsvarande värden för k

1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, 18, 18, 12, 2, 30, 1, 11, 6, 2, 60, 48, 19, 132, 132, 10, 192, 2, 31, 168, 108, 66, 35, 252, 78, 132, 342, 366, 390, 168, 348, 282, 498, 540, 546, 59, 12, 378, 438, 4, 222, 336, 18, 660, 138, 798, 810, 528, 450, 75, 252, 150, 948, 162, … (talföljd A034898 i OEIS)

De första hyperperfekta talen som inte är perfekta är:

21, 301, 325, 697, 1333, 1909, 2041, 2133, 3901, 10693, 16513, 19521, 24601, 26977, 51301, 96361, 130153, 159841, 163201, 176661, 214273, 250321, 275833, 296341, 306181, 389593, 486877, 495529, 542413, 808861, 1005421, 1005649, 1055833, 1063141, 1232053, … (talföljd A007592 i OEIS)

Lista över hyperperfekta tal[redigera | redigera wikitext]

I följande tabell visas de första k-hyperperfekta talen för vissa värden på k, tillsammans med länk till nätuppslagsverket över heltalsföljder (OEIS):

k OEIS k-hyperperfekt tal
1 OEISA000396 6, 28, 496, 8128, 33550336, …
2 OEISA007593 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, …
3   325, …
4   1950625, 1220640625, …
6 OEISA028499 301, 16513, 60110701, 1977225901, …
10   159841, …
11   10693, …
12 OEISA028500 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, …
18 OEISA028501 1333, 1909, 2469601, 893748277, …
19   51301, …
30   3901, 28600321, …
31   214273, …
35   306181, …
40   115788961, …
48   26977, 9560844577, …
59   1433701, …
60   24601, …
66   296341, …
75   2924101, …
78   486877, …
91   5199013, …
100   10509080401, …
108   275833, …
126   12161963773, …
132   96361, 130153, 495529, …
136   156276648817, …
138   46727970517, 51886178401, …
140   1118457481, …
168   250321, …
174   7744461466717, …
180   12211188308281, …
190   1167773821, …
192   163201, 137008036993, …
198   1564317613, …
206   626946794653, 54114833564509, …
222   348231627849277, …
228   391854937, 102744892633, 3710434289467, …
252   389593, 1218260233, …
276   72315968283289, …
282   8898807853477, …
296   444574821937, …
342   542413, 26199602893, …
348   66239465233897, …
350   140460782701, …
360   23911458481, …
366   808861, …
372   2469439417, …
396   8432772615433, …
402   8942902453, 813535908179653, …
408   1238906223697, …
414   8062678298557, …
430   124528653669661, …
438   6287557453, …
480   1324790832961, …
522   723378252872773, 106049331638192773, …
546   211125067071829, …
570   1345711391461, 5810517340434661, …
660   13786783637881, …
672   142718568339485377, …
684   154643791177, …
774   8695993590900027, …
810   5646270598021, …
814   31571188513, …
816   31571188513, …
820   1119337766869561, …
968   52335185632753, …
972   289085338292617, …
978   60246544949557, …
1050   64169172901, …
1410   80293806421, …
2772 OEISA028502 95295817, 124035913, …
3918   61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, …
9222   404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, …
9828   432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, …
14280   848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, …
23730   2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, …
31752 OEISA034916 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, …
55848   15166641361, 44783952721, 67623550801, …
67782   18407557741, 18444431149, 34939858669, …
92568   50611924273, 64781493169, 84213367729, …
100932   50969246953, 53192980777, 82145123113, …

Det kan bevisas att om k > 1 är ett udda heltal och p = (3k + 1) / 2 och q = 3k + 4 är primtal, då är p2q k-hyperperfekt. Judson S. McCranie förmodade år 2000 att alla k-hyperperfekta tal för udda k > 1 är av denna form, men hypotesen har varken bevisats eller motbevisats än. Det kan också bevisas att om pq är udda primtal och k är ett heltal sådana att k(p + q) = pq - 1, då är pq k-hyperperfekt.

Det är också möjligt att bevisa att om k > 0 och p = k + 1 är primtal, då resulterar det att för alla i > 1 sådana att q = pi - p + 1 är primtal, och därav är n = pi - 1q k-hyperperfekt. Följande tabell listar de kända värdena för k och motsvarande värden på i för vilket n är k-hyperperfekt:

k OEIS Värde av i
16 OEISA034922 11, 21, 127, 149, 469, …
22 17, 61, 445, …
28 33, 89, 101, …
36 67, 95, 341, …
42 OEISA034923 4, 6, 42, 64, 65, …
46 OEISA034924 5, 11, 13, 53, 115, …
52 21, 173, …
58 11, 117, …
72 21, 49, …
88 OEISA034925 9, 41, 51, 109, 483, …
96 6, 11, 34, …
100 OEISA034926 3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, …

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Hyperperfect number, 15 november 2013.
  • Daniel Minoli, Robert Bear (Fall 1975), ”Hyperperfect numbers”, Pi Mu Epsilon Journal 6 (3): 153–157 .
  • Daniel Minoli (Dec 1978), ”Sufficient forms for generalized perfect numbers”, Annales de la Faculté des Sciences UNAZA 4 (2): 277–302 .
  • Daniel Minoli (Feb. 1981), ”Structural issues for hyperperfect numbers”, Fibonacci Quarterly 19 (1): 6–14 .
  • Daniel Minoli (April 1980), ”Issues in non-linear hyperperfect numbers”, Mathematics of Computation 34 (150): 639–645 .
  • Daniel Minoli (October 1980), ”New results for hyperperfect numbers”, Abstracts of the American Mathematical Society 1 (6): 561 .
  • Daniel Minoli, W. Nakamine (1980), ”Mersenne numbers rooted on 3 for number theoretic transforms”, International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing .
  • Judson S. McCranie (2000), ”A study of hyperperfect numbers”, Journal of Integer Sequences 3, http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/mccranie.html .
  • Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002, ISBN 0-07-140615-8 (p. 114-134)