Inre produktrum

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Inre produkt)
Hoppa till: navigering, sök

Ett inre produktrum är i matematik ett vektorrum som har ytterligare struktur genom att en inre produkt (kallas också skalärprodukt) är definierad, vilket gör det möjligt att införa geometriska begrepp såsom vinklar och normen för vektorer.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Låt V vara ett vektorrum över en kropp K. K kommer i fortsättningen antingen vara eller . V är nu ett inre produktrum om det finns en funktion

kallad inre produkt som är

detta innebär till exempel att

eftersom är detta väldefinierat.

och

Notera att denna definition för komplexa vektorrum innebär att den inre produkten är linjär i första variabeln, men antilinjär i den andra. Detta kallas ofta seskvilinjäritet. Detta är enbart en konvention, den inre produkten kan även definieras så att det omvända gäller. Oftast brukar man i matematiska sammanhang kräva linjäritet i första variabeln, medan man inom kvantfysik ofta vill ha linjäriteten i den andra variabeln.

Om sägs x och y vara ortogonala. Detta betecknas ofta som .

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Reella rum[redigera | redigera wikitext]

I det ändligtdimensionella rummet bestående av alla reella -tipler kan man införa den vanliga skalärprodukten som inre produkt, så om är element i :

Eller, uttryckt som matrismultiplikation:

Där är transponerat.

Komplexa rum[redigera | redigera wikitext]

Om -tiplarna istället är komplexa så ges en inre produkt av:

Där är det hermiteska konjugatet av och är det komplexa konjugatet av .

En allmännare form för en inre produkt för är:

Där är en positivt definit matris. Detta gäller även för reella rum, då det hermiteska konjugatet blir transponat.

Funktionsrum[redigera | redigera wikitext]

Det oändlighetsdimensionella (det vill säga, har ej någon ändlig bas) funktionsrummet av alla reella funktioner som är kontinuerliga på intervallet har en inre produkt:

.

Med hjälp av inre produkten kan normen av f definieras:

Normen kan ses som en slags längd av f.

kan kallas avståndet mellan "punkterna" f och g.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Det är lätt att visa att funktionen sådan att är en norm på V. Om är fullständigt med avseende på metriken som ges av denna norm, kallas för ett Hilbertrum.

För ett inre produktrum gäller följande välkända satser:

Likhet gäller om och endast om x och y är linjärt beroende.
Likhet gäller om och endast om Cauchy-Schwarz olikhet är en likhet.

Baser i inre produktrum[redigera | redigera wikitext]

En bas för ett inre produktrum sägs vara en ortonormal bas (eller ON-bas; även termen ortogonal bas kan förekomma i denna mening) om det för alla element i basen gäller att om och för alla i. Givet en bas för ett ändligtdimensionellt inre produktrum kan en ortonormal bas fås genom Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.