Instängningssatsen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Ett exempel på instängningssatsen, g=blå kurva, f=svart kurva och h=röd kurva.
Svart kurva visar grafen till

Instängningssatsen, även satsen om de två polismännen, polislemmat, klämsatsen, är en sats (ibland sedd som ett lemma) inom matematisk analys. Satsen innebär att om funktionen f är större än g men mindre än h (g < f < h), i ett visst intervall, måste f vara lika med g och h om både h och g närmar sig en punkt p.

Satsen kan skrivas

Låt I vara ett intervall som innehåller punkten a. Låt f, g, och h vara funktioner definierade på intervallet I, utom möjligtvis för punkten a. Antag att för varje x i I skilt från a

och att

Då måste

Namnet satsen om de två polismännen härstammar från jämförelsen att de två polismännen Gustav (g) och Harald (h) med boven Frans (f) mellan sig rör sig mot fängelset; då Gustav och Harald närmar sig fängelset har Frans ingen annanstans att ta vägen än att följa med.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Funktion av en variabel[redigera | redigera wikitext]

Olikheten

illustrerad på enhetscirkeln

Gränsvärdet

kan bevisas med instängningssatsen. För 0 < x < π/2 kan det visas att

Division med sin(x) ger

och instängningssatsen ger då

och således är

Funktion av två variabler[redigera | redigera wikitext]

Instängningssatsen kan användas även för funktioner av flera variabler. I till exempel fallet f : R2R blir funktionsvillkoren

för alla (x, y) i en omgivning till gränsvärdespunkten. Ett villkor är att målfunktionen verkligen har ett gränsvärde i den givna punkten. Satsen kan därför användas för att visa att en funktion har ett gränsvärde i en given punkt, men kan inte användas för att visa att gränsvärdet inte existerar. [1]

Visa att gränsvärdet

existerar.

därför är, enligt instängningssatsen,

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Stewart, James (2008). ”Chapter 15.2 Limits and Continuity”. Multivariable Calculus (6th). sid. 909–910. ISBN 0495011630