Involution (matematik)

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
En involution är en funktion f(x), som tillämpad på sig själv, f(f(x)), avbildar på det ursprungliga elementet

Inom matematiken är en involution, en bijektiv funktion som är sin egen invers:

,

eller alternativt

.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Reella tal[redigera | redigera wikitext]

Involutioner är, utöver den identiska avbildningen f(x) = x, avbildningarna

och

eftersom

för alla

och

för alla .

Komplexa tal[redigera | redigera wikitext]

Komplexkonjugering av ett tal är en involution:

där avbildas vid komplexkojugering på talet:

Vid ytterligare en komplexkonjugering fås

Involutioner i gruppteori[redigera | redigera wikitext]

Ett element a i en grupp G kallas en involution om a2 = e, där e är gruppens neutrala element. Om alla a, som tillhör G är involutioner, så är gruppen abelsk. En grupp vars alla element är involutioner är Kleins fyrgrupp.

Om G är en abelsk grupp, så är avbildningen

en involution och en gruppautomorfi. Om G inte är abelsk, så är denna avbildning en involution, men inte en grupputomorfi.

Generellt är varje inre automorfi på en grupp G en involution.

Linjär algebra[redigera | redigera wikitext]

En matris A kallas involutiv om A2 = I, där I är enhetsmatrisen. En involutiv matris kan i det två- och tredimensionella rummet konkret tolkas som en spegling av rummets punkter i en linje respektive i ett plan. Det finns ett enkelt samband mellan involutiva och idempotenta avbildningsmatriser. Om B är idempotent, så är A = 2B - I involutiv. B kan tolkas som en projektion. Exempel:

I det tvådimensionella rummet är

en projektion på x-axeln och
en spegling av rummets punkter i samma axel.

Andra involutiva matriser är Paulis spinnmatriser.

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • I. N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, Waltham 1964.
  • B. L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Heidelberg 1950.
  • Karl-Johan Bäckström, Diskret matematik, Studentlitteratur, Lund 1986.
  • David C. Lay, Linear Algebra and its Applications, Addison-Wesley, New York 1996.