j-invarianten

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Kleins j-invariant i komplexa planet

Inom matematiken är Kleins j-invariant, sedd som en funktion av komplexa variabeln τ, en modulär funktion av vikt noll för SL(2, Z) definierad i övre planhalvan av komplexa planet. Den är den unika funktionen med dessa egenskaper som är analytisk förutom vid en spets där den har en enkel pol så att

Rationella funktioner av j är modulära, och det kan visas att alla modulära funktioner är av denna form. j-invarianten studerades klassiskt som en parametrisering av elliptiska kurvor över C, men den har även överraskande samband med symmetrierna av Monstergruppen.

Fourierexpansion[redigera | redigera wikitext]

j-invariantens Fourierexpansion i variabeln q = exp(2πiτ) börjar

Alla koefficienterna är heltal, vilket resulterar i flera nästan-heltal, såsom Ramanujans konstant:

.

Alternativa uttryck[redigera | redigera wikitext]

Följande formel gäller

där x = λ(1−λ) och λ är modulära lambdafunktionen. Värdet av j förblir oförändrat då λ ersätts med något av de sex värdena

Klasskroppsteori och j[redigera | redigera wikitext]

j-invarianten har många remarkabla egenskaper:

Formler för pi[redigera | redigera wikitext]

Genom att använda formeln bevisade Chudnovskybröderna 1987 formlen

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, j-invariant, 15 april 2014.

Fotnoter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Silverman, Joseph H. (1986). The Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. "106". Springer-Verlag. sid. 339. ISBN 0-387-96203-4