Jacobi-identiteten

Jacobi-identiteten, eller Jacobis identitet, innebär inom matematiken att en bilinjär avbildning $F\colon V\times V\rightarrow V$ på vektorrummet $V$ uppfyller:

$F(F(x,y),z)+F(F(y,z),x)+F(F(z,x),y)=0,\quad \forall x,y,z\in V$.

Är den bilinjära avbildningen dessutom antisymmetrisk rör det sig om en lieparentes. Viktiga exempel är:

• Kommutatorer för linjära avbildningar: $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0.$
• Vektorprodukt: ${\textbf {a}}\times ({\textbf {b}}\times {\textbf {c}})+{\textbf {b}}\times ({\textbf {c}}\times {\textbf {a}})+{\textbf {c}}\times ({\textbf {a}}\times {\textbf {b}})=0$
• Poissonklamrar: $\,\{f,\{g,h\}\}+\{h,\{f,g\}\}+\{g,\{h,f\}\}=0$

Jacobi-identiteten är uppkallad efter den tyske matematikern Carl Jacobi.

Bevis för vektorprodukt

Beviset fås enkelt ur Lagranges formel:

${\textbf {a}}\times ({\textbf {b}}\times {\textbf {c}})={\textbf {b}}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}})-{\textbf {c}}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}})$

Således:

${\textbf {a}}\times ({\textbf {b}}\times {\textbf {c}})+{\textbf {b}}\times ({\textbf {c}}\times {\textbf {a}})+{\textbf {c}}\times ({\textbf {a}}\times {\textbf {b}})=$

$={\textbf {b}}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}})-{\textbf {c}}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}})+{\textbf {c}}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}})-{\textbf {a}}({\textbf {b}}\cdot {\textbf {c}})+{\textbf {a}}({\textbf {b}}\cdot {\textbf {c}})-{\textbf {b}}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}})=$

$=0$