Jacobimatris

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Jacobimatris (också kallad jacobian eller funktionalmatris), efter Carl Gustav Jakob Jacobi, är en matris bestående av olika partialderivator som tillhör ett system av funktioner. Tillsammans med sin determinant (jacobideterminanten) används den inom vektoranalysen. Både matrisen och dess determinant kan ibland något informellt benämnas jacobian.

Jacobimatris[redigera | redigera wikitext]

Jacobimatrisen är en matris innehållande alla första ordningens partiella derivator för en vektorvärd funktion, och är av betydelse då den representerar den bästa linjäraapproximationen av en differentierbar funktion i en omgivning till en given punkt. Jacobimatrisen kan därmed ses som en motsvarighet till derivata för vektorvärda funktioner.

Låt vara en funktion från ett euklidiskt rum av dimension n till ett euklidiskt rum av dimension m. En sådan funktion ges av m reella funktioner,

Om de existerar kan de partiella derivatorna av dessa funktioner ordnas i en -matris, alltså en

jacobimatris

enligt

Ett alternativt skrivsätt är

Matrisens i:e rad ges alltså av gradienten till .

Om p är en punkt i och är differentierbar i p, så ges dess derivata av . Här kommer den linjära transformation som beskrivs av att vara den bästa möjliga approximationen av i en omgivning till p, i den meningen att

för x nära p.

Invers[redigera | redigera wikitext]

Om jacobimatrisen är kvadratisk och inverterbar, kan dess invers antingen fås genom gausselimination, eller genom att inse att jacobimatrisen transformerar vektorn bestående av differentialerna av till vektorn bestående av differentialerna av , nämligen

Genom att multiplicera båda sidor med inversen av jacobimatrisen fås

Om

istället är en funktion från ett euklidiskt rum av dimension n till ett annat euklidiskt rum av dimension n, given av de n reella funktionerna

så kommer

att vara den matris som transformerar vektorn bestående av differentialerna av

till vektorn bestående av differentialerna av

,

nämligen

Genom identifiering mellan de sista ekvationerna fås att

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Följande funktion betecknar ett variabelbyte från sfäriska koordinater till kartesiska koordinater:

.

Mer explicit skrivs den

Jacobimatrisen för detta variabelbyte är

Jacobimatrisen för funktionen med komponenterna

är

vilket visar att jacobimatrisen inte behöver vara kvadratisk.

Jacobideterminanten[redigera | redigera wikitext]

Om , det vill säga är en funktion från ett n-dimensionellt rum till ett annat n-dimensionellt rum, så är Jacobimatrisen kvadratisk, och därmed är dess determinant väldefinierad. Denna kallas jacobideterminanten, och dess värde i en punkt ger viktig information om funktionen i denna omgivning. Om är kontinuerligt differentierbar är den även inverterbar i närheten av p om Jacobideterminanten är nollskild i p. Om determinanten är positiv i p bevarar orientering, och om den är negativ skiftar orientering. Vidare ger absolutvärdet av Jacobideterminanten i p den faktor med vilken skalar om area/volym/hypervolym i närheten av p. Detta används i variabelsubstitution.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Jacobideterminanten för funktionen

med komponenterna

är

Vi kan av detta dra slutsatsen att kastar om orienteringen i närheten av alla punkter där och har samma tecken, och att funktionen är lokalt inverterbar överallt utom i eller . Ett litet objekt som befinner sig i närheten av (1,1,1) som mappas om av kommer öka sin volym cirka 40 gånger.

Användningar[redigera | redigera wikitext]

Jacobideterminanten används när man gör variabelbyten när man integrerar en funktion för att kompensera för basbytet. Den kommer då dyka upp som en multiplikativ term under integraltecknet. Det är vanligtvis nödvändigt att variabelbytet är injektivt, vilket gör att Jacobideterminanten är väldefinierad.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Följande demonstrerar en användning av Jacobideterminanten vid beräkning av en integral. Antag att man vill beräkna volymen av enhetssfären . Låt . Volym av D ges då av uttrycket

.

Görs ett variabelbyte till sfäriska koordinater enligt

transformeras volymelementet dx dy dz till

och området D beskrivs i de nya koordinaterna som

.

Strikt sett är detta koordinatbyte inte injektivt i hela D, men om vi exkluderar linjen x = y = 0 får vi ett område med samma volym som D där koordinatbytet är injektivt och vi kan tillämpa koordinatbytet i volymintegralen. Volymintegralen blir därför

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.