Kedjeregeln

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Kedjeregeln är inom matematisk analys en regel för derivering av sammansatta funktioner, det vill säga, om f and g är funktioner, då anger kedjeregeln derivatan av deras sammansättning  f g (funktionen som avbildar xf(g(x)) i termer av derivator av f and g och produkten av funktioner enligt

Detta kan mer explicit uttryckas i termer av variabeln x. Låt F = f g, eller ekvivalent, F(x) = f(g(x)) för alla x. Kedjeregeln kan då skrivas

Kedjeregeln kan också skrivas med Leibniz notation: låt z vara en funktion av variabeln y, vilken själv är en funktion av x (y och z är därmed beroende variabler) och därmed blir även z en funktion av x:

Funktioner av en variabel[redigera | redigera wikitext]

Om

och , så att ,

anger kedjeregeln att

där kallas f:s inre derivata.

Med Leibniz notation skrivs detta

är den inre derivatan.

Funktioner av flera variabler[redigera | redigera wikitext]

Inom flervariabelanalys fungerar kedjeregeln på ett liknande sätt.

Om

och

så är

.

Eftersom gradienten

och derivatan av den inre funktionen u är

inser vi att derivatan kan skrivas som en skalärprodukt enligt

.