Konditionstal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Konditionstal är inom numerisk analys ett mått på hur väl ett visst problem lämpar sig för numeriska beräkningar. Ett problem, exempelvis ett linjärt ekvationssystem , kan vara olika känsligt för störningar i högerledet så att det orsakar en förändring i lösningen .

Är konditionstalet för en matris till ett problem litet kallas det att matrisen är välkonditionerad, och problemet är lätt att lösa med god noggrannhet. Är konditionstalet istället stort är matrisen illa-konditionerad. Då är problemet känsligare för fel och därmed svårare att lösa med bra noggrannhet. Ett olösligt problem, till exempel att invertera en singulär matris, har oändligt stort konditionstal.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Konditionstalet av en matris kan definieras som

,

där är någon matrisnorm.

Om man också vill understycka villken matrisnorm som används kan man t ex skriva

som då avser den oändliga matrisnormen, dvs maximala radsumman, av matrisen .

Härledning[redigera | redigera wikitext]

För att härleda konditionstalet, betraktar vi först ett linjärt ekvationssytem som här är ett exakt system med den exakta lösningen . Om vi nu har en förändring i högerledet, så kommer vi också att få en förändring i lösningen.

, det vill säga .

Eftersom så är

vilket är ekvivalent med

Nästa steg är att uppskatta det relativa felet för uttrycket. Om man först tar normen av uttrycket så fås

vilket är en uppskattning av det absoluta felet.

Om man på samma sätt också tar normen av fås


Av dessa uttryck följer att


och om man slutligen dividerar bägge leden med och får man

Här ser vi alltså att konditionstalet är den skalfaktor som styr hur relativa felet i indata påverkar det relativa felet i lösningen . Med detta samband kan vi nu uppskatta en övre gräns för känsligheten hos ett linjärt ekvationssystem.

Vad är då det minsta värde som kan anta? För ett ekvationssystem där det relativa felet för är , så följer

, där är enhetsmatrisen.
Alltså är

Också matrisen kan innehålla störningar. Uttrycket för att uppskatta känsligheten hos lösningen ser då ut såhär:

där och

Tillämpning[redigera | redigera wikitext]

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Vi vill bestämma en övre gräns för till ett givet ekvationssystem , där

, och .

Elementen i är givna med tre korrekta decimaler. Det innebär att vi har ett fel i som är , dvs

Vi ska alltså beräkna .

Konditionstalet för är

.

Normen av är

.

Normen av är

.

Gränsen för den relativa felet i lösningen blir då

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Eldén, Lars; Linde Wittmeyer-Koch (2001). Numeriska beräkningar -analys och illustrationer med MATLAB. Lund: Studentlitteratur AB. ISBN 978-91-44-02007-5