Konjugatregeln

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Inom matematiken är konjugatregeln ofta använd för att skriva om en differens till en produkt. Om och är två tal är

Konjugatregeln gäller även för andra matematiska objekt än tal. Objekten och måste då kommutera.

Allmänna konjugatregeln[redigera | redigera wikitext]

Om exponenten är ett godtyckligt positivt heltal fås vad som kallas den allmänna konjugatregeln:

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Tillämpning inom talteori[redigera | redigera wikitext]

Låt a, b och n beteckna positiva heltal. Den allmänna konjugatregeln visar att ett tal på formen bara kan vara ett primtal om differensen mellan a och b är ett. För att hitta primtal på denna form är det därför tillräckligt att inskränka letandet till tal av typen Speciellt ger valet det som kallas mersennetal:

För vissa värden på det positiva heltalet är ett primtal (mersenneprimtal) och för sådana värden måste talet

vara ett primtal enligt konjugatregeln.

Bevis av den allmänna konjugatregeln[redigera | redigera wikitext]

Den allmänna konjugatregeln kan bevisas med hjälp av matematisk induktion med avseende på det positiva heltalet n:

  • Först visas att regeln är sann då n = 1
  • Sedan antas att regeln är sann då n = N, där N är ett positivt heltal
  • Sedan visas att regeln är sann för nästa positiva heltal n = N + 1
  • Slutligen används matematisk induktion som leder till att regeln är sann för alla positiva heltal n.

För det positiva heltalet n = 1 innebär allmänna konjugatregeln sambandet

vilket uppenbarligen är sant. Den allmänna konjugatregeln är därför sann för det positiva heltalet n = 1.

Nu antas att den allmänna konjugatregeln är sann för det positiva heltalet n = N, det vill säga:

Med utgångspunkt från detta antagande skall det visas att regeln är sann för nästa positiva heltal, det vill säga att

Differensen skrivs om på ett sätt som gör att det går använda det som är känt om differensen

De termer slås samman som innehåller faktorn och även de termer som innehåller faktorn b:

Sedan ersätts differensen med det uttryck som antagits vara sant:

Därefter bryts den gemensamma faktorn ut och återstoden skrivs ut i detalj:

Sedan multipliceras faktorn b in i summan ovan och därmed är

Med hjälp av summa-symbolen kan resultat skrivas på en form som visar att

Det har härmed visats att om den allmänna konjugatregeln är sann för det positiva heltalet n = N, så är den även sann för nästa positiva heltal n = N + 1.

Enligt principen för matematisk induktion är då den allmänna konjugatregeln sann för alla positiva heltal n.

Se även[redigera | redigera wikitext]