Kontinuerlig funktion

Att en funktion är kontinuerlig betyder att den är sammanhängande.

Denna funktion är inte kontinuerlig i punkten x₀ eftersom den där gör ett hopp.

Inom matematiken är en storhet som är kontinuerlig en storhet som är sådan att man alltid kan finna en annan storhet som skiljer sig från den förra med en kvantitet som är mindre än någon ändlig storhet.

Inom matematiken är en kontinuerlig storhet en som inte gör några plötsliga hopp och inte har några avbrott.

Exempel

• En funktion definierad på en delmängd av de reella talen är kontinuerlig i en punkt x = x₀ i (det inre av) definitionsmängden om den där identisk med sitt gränsvärde, det vill säga om

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

Definition av kontinuerlig funktion på reella tallinjen

En funktion f av en variabel är:

• kontinuerlig i punkten x om det för alla ε > 0 existerar ett δ > 0 sådant att |x - y| < δ medför |f(x) - f(y)| < ε.
• kontinuerlig i ett intervall [a, b] om den är kontinuerlig i alla punkter i intervallet.

Definition av kontinuerlig funktion mellan metriska rum

Om (X, d_x), (Y, d_y) är metriska rum är funktionen f : X → Y kontinuerlig i x om det för alla ε > 0 existerar ett δ > 0 så att d_x(x, y) < δ ⇒ d_y(f(x), f(y)) < ε.

Definition av kontinuerlig funktion mellan topologiska rum

För allmänna topologiska rum gäller att en funktion f : X → Y är kontinuerlig om urbilden av varje öppen mängd i Y är öppen i X. Det vill säga för alla öppna U ⊂ Y gäller att f ^-1(U) är öppen i X.

Man säger att f är kontinuerlig i punkten x om det för varje omgivning V till f(x) finns en omgivning U till x, sådan att f(U) ⊂ V. Om X och Y är metriska rum, är denna definition ekvivalent med den klassiska definitionen ε - δ.

Riktad kontinuerlighet

en högerkontinuerlig funktion

En funktion kan vara kontinuerlig i endast en riktning.

Se även

• Diskret funktion
• Kontinuum
• Lipschitz-kontinuitet
• Likformig kontinuitet

Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.