Konvergenstest

Jean le Rond d’Alembert

Ett konvergenstest är ett matematiskt verktyg som används för att avgöra om en oändlig serie konvergerar eller divergerar. Till skillnad från divergenta serier, där partialsummorna saknar ett ändligt gränsvärde, är en ändlig serie alltid konvergent. Nedanför redovisas två av de viktigaste metoderna inom konvergenstest.

Kvottest

Kvottestet kräver att gränsvärdet för förhållandet (kvoten) ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ ska existera och vara skilt från 0. Metoden tillämpas enbart för positiva serier. Mannen bakom metoden är matematikern Jean le Rond d’Alembert.

Sats kvottest

Låt $(a_{n})_{n\geq 1}$ vara en följd av reella tal $a_{n}\geq 0$. Antag att gränsvärdet $L:=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\in [0,\infty ]$ existerar.

Då gäller:

1. Om $L<1$, så konvergerar serien $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
2. Om $L>1$, så divergerar serien $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
3. Om $L=1$, är kriteriet inkonklusivt.

Anmärkning: Satsen är en förenklad version av kvottestet. I den enklare versionen med vanligt gränsvärde används ofta i inledande ingenjörskurser som tumregel, men i mer omfattande sammanhang är det nödvändigt att tillämpa lim sup.

Kvottest utan gränsvärde

Låt $(a_{n})$ vara en talföljd av icke-negativa reella tal (och betrakta $|a_{n}|$). Sätt gränsvärdet ${\displaystyle \ell$ :=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}}

Då gäller

1. Om $\ell <1$, så konvergerar $\sum a_{n}$.
2. Om $\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}>1$, så divergerar $\sum a_{n}$.

Anmärkning: Den vanliga satsen är ett specialfall av satsen utan gränsvärdet när gränsvärdet existerar.

Bevis kvottest

Låt $\,\varepsilon >0$ vara så litet att $r:=\varepsilon +L<1$. Av definition av gränsvärde finns

$N=N(\varepsilon )$ så att ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq r\quad \forall n\geq N.$

Av geometriska serier följer, $a_{N+k}\leq a_{N}r^{k}\quad \forall k\geq 0.$ För varje $M\geq N$ erhålls

$\sum _{n=N}^{M}a_{n}\;\leq \;\sum _{k=0}^{M-N}a_{N}r^{k}\;\leq \;a_{N}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}={\frac {a_{N}}{1-r}}.$

Därmed är samtliga partiella summor

$S_{M}=\sum _{n=1}^{M}a_{n}=\underbrace {\sum _{n=1}^{N-1}a_{n}} _{\text{ändlig konstant}}+\sum _{n=N}^{M}a_{n}.$

uppåt begränsade för alla $M$. Serien $\sum$$a_{n}$ konvergerar. Om det existerar ett

tal $\delta >0$ och $N$, så gäller det att ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1+\delta \quad \forall n\geq N.$

Serien $(a_{n})$ är strikt växande för $n\geq N$, och framförallt $a_{n}\;\geq \;a_{N}(1+\delta )^{\,n-N}\;\;{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\;\;\infty$

eller åtminstone $a_{n}\not \to 0$. Eftersom $a_{n}\neq 0$, divergerar serien$\sum$$a_{n}$.

Bevis kvottest utan gränsvärde

Sätt ${\displaystyle \ell$ :=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}} . Välj ett tal så att $\ell <r<1$. Enligt limsup-definitionen finns talet $N$

så att ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq r\quad n\geq N.$

$Limsup<r$ innebär att det finns ändligt antal kvoter som överstiger $r$.

Genom induktion fås $k\geq 0$, $a_{N+n}\leq a_{N}r^{n}.$ Bas $k=0$ anses trivialt.

Därmed gäller $a_{N+k+1}={\frac {a_{N+k+1}}{a_{N+k}}}\cdot a_{N+k}\;\leq \;r\cdot a_{N}r^{k}=a_{N}r^{k+1}.$

Utifrån satsen om limsup-definitionen betraktas serien ovanför som konvergent.

Välj $\eta >0$ så att $1+\eta <\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}.$ Då existerar $N$ med

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1+\eta \quad \forall n\geq N.$

som forcerar $a_{n}\not \to 0$. Det innebär divergens.

Notera: Om enbart $\ell >1$ är givet (utan kontroll från liminf) kan kvoten oscillera och då ger testet inte automatiskt divergens. Men om $\ell >1$ finns en delsekvens av kvoter som ligger ${\displaystyle >1+\eta$ ;} då innehåller $(a_{n})$ en delsekvens som inte går mot noll och då divergerar $\sum$$a_{n}$ i alla fall. Om det finns en oändlig följd index $n_{k}$ med ${\frac {a_{n_{k}+1}}{a_{n_{k}}}}\geq 1+\eta$ ; då gäller $a_{n_{k}+1}\geq (1+\eta )\,a_{n_{k}}$, och därmed kan inte $a_{n}{\overset {}{\longrightarrow }}0$. Så även $\ell >1$ räcker för divergens.

Jämförelsetestet

Används för att jämföra en given serie mot en annan serie vars konvergens eller divergens är känd.

Sats

Låt $(a_{n})_{n\geq 1}$ och $(b_{n})_{n\geq 1}$ vara följder av godtyckliga reella tal och $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ för alla tillräckligt stora $n$.

Då gäller

1. Om $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ konvergerar, så konvergerar $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.
2. Om $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ divergerar, så divergerar$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

Notera: För alla tillräckligt stora $n$ innebär att det finns $N$ så att olikheterna gäller för alla $n\geq N$.

Anta att $a_{n}\geq 0$ och $b_{n}\geq 0$ och gränsvärdet

$L:=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\in (0,\infty ).$

Då konvergerar $\sum$$a_{n}$ om och endast om $\sum$$b_{n}$ konvergerar.

Anmärkning: Om $L=0$ och $L=\infty$ fås enkelriktade slutsatser för gränsjämförelsetestet.

Fullständigt bevis

Sätt partialla summor $A_{m}:=\sum _{n=1}^{m}a_{n},B_{m}:=\sum _{n=1}^{m}b_{n}.$ Då är $A_{m}$ och $B_{m}$ monotont växande.

Välj $N$ så att $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ för alla $n\geq N$. För $m\geq N$ gäller

$0\leq \sum _{n=N}^{m}a_{n}\leq \sum _{n=N}^{m}b_{n}\;\Longrightarrow \;\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad A_{m}\leq A_{N-1}+(B_{m}-B_{N-1})$

Låt $\varepsilon \in (0,1)$. Av definitionen av gränsvärde finns $N$ så att $n\geq N$

$\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|<\varepsilon \;\;\Longrightarrow \;\;(L-\varepsilon )b_{n}\leq a_{n}\leq (L+\varepsilon )b_{n}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$

Välj ett godtyckligt tal $\varepsilon ={\frac {L}{2}}$ (möjligt då $L>0$). Då ger från (1) för alla $n\geq N$

${\frac {L}{2}}\,b_{n}\;\leq \;a_{n}\;\leq \;{\frac {3L}{2}}\,b_{n}.\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$

Sätt $A_{m}=\sum _{n=1}^{m}a_{n}$ och $B_{m}=\sum _{n=1}^{m}b_{n}$ samt $\Delta A_{m}:=A_{m}-A_{N-1},\quad \Delta B_{m}:=B_{m}-B_{N-1}.$

Summation över steget med epsilon är $n=N,...,m$ ger

${\frac {L}{2}}\,\Delta B_{m}\;\leq \;\Delta A_{m}\;\leq \;{\frac {3L}{2}}\,\Delta B_{m}\qquad$

Alltså gäller

$\Delta A_{m}\;\asymp \;\Delta B_{m}\quad (m\to \infty ),$

och då konvergerar $A_{m}\;\;\Longleftrightarrow \;\;B_{m}$ (ändliga prefix och konstanta faktorer påverkar inte konvergens).

Exempel

Avgör om serien $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ är konvergent eller divergent för

a. $a_{n}={\frac {e^{n}}{\sqrt {n!}}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$b. $a_{n}={\frac {2n}{1+n^{2}}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$c. $a_{n}={\frac {\sin(n)}{n^{2}}}.$

a. Lösningsförslag

Beräkna kvotföljden

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad r_{n}\;:=\;{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {e^{\,n+1}/{\sqrt {(n+1)!}}}{e^{\,n}/{\sqrt {n!}}}}={\frac {e}{\sqrt {\,n+1\,}}}\;{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\;0.$

Alltså gäller

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\;=\;0\;<\;1.$

Enligt kvottestet (refererar till metoden) i lim sup-form följer att $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konvergerar (till och med absolut).

Kontroll med jämförelsetestet. Använder integraluppskattningen

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ln(n!)=\sum _{k=1}^{n}\ln k\;\geq \;\int _{1}^{n}\ln x\,dx\;=\;n\ln n-n+1.$

Exponentierar och tar kvadratroten:

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\sqrt {n!}}\;\geq \;{\sqrt {e}}\,{\Big (}{\frac {n}{e}}{\Big )}^{\!n/2}.$

Alltså gäller

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad a_{n}={\frac {e^{\,n}}{\sqrt {n!}}}\;\leq \;{\frac {e^{\,n}}{{\sqrt {e}}\,{\big (}{\frac {n}{e}}{\big )}^{n/2}}}\;=\;{\frac {1}{\sqrt {e}}}{\Big (}{\frac {e^{3}}{n}}{\Big )}^{\!n/2}.$

Då $\sum 2^{-n}$ konvergerar, ger direkta jämförelsetestet att $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konvergerar.

b. Lösningsförslag

Gränsjämförelse med den harmoniska serien ger

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{1/n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{1+n^{2}}}\cdot n=\lim _{n\to \infty }{\frac {2n^{2}}{1+n^{2}}}=2\in (0,\infty ).$

Då serien$\sum {\tfrac {1}{n}}$ divergerar, divergerar också $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

Kontroll. För $n\geq 1$ gäller $1+n^{2}\leq 2n^{2}$ $\;\Rightarrow \;$

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad a_{n}={\frac {2n}{1+n^{2}}}\;\geq \;{\frac {2n}{2n^{2}}}={\frac {1}{n}}.$

Ty $\sum a_{n}\;\geq \;$harmoniska serien, vilket innebär divergens.

För att verkligen säkerställa om serien divergerar kan integraltestet tillämpas. Sätt

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad f(x)={\dfrac {2x}{1+x^{2}}}$

Då gäller

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\int _{1}^{\infty }{\frac {2x}{1+x^{2}}}\,dx={\Big [}\ln(1+x^{2}){\Big ]}_{1}^{\infty }=\infty .$

så serien divergerar enligt integraltestet. Notera att kvottestet skulle ge $\lim _{n\to \infty }{\dfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}=1$ $\;\Rightarrow \;$inkonkulsivt, ty jämförelse/gränsjämförelsetestet är ett lämpligt verktyg här.

c. Lösningsförslag

Låt $a_{n}={\dfrac {\sin n}{n^{2}}}$. Då gäller

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\frac {|\sin n|}{n^{2}}}\;\leq \;{\frac {1}{n^{2}}}.$

Eftersom $\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{n^{2}}}$ konvergerar (p-serie, $p=2$), följer det direkta jämförelsetestet att

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n}{n^{2}}}$ konvergerar snabbt

Integraltestet är olämpligt då $\sin n$ oscillerar. Standard-integraltest kräver avtagande och positiv $f$. Men med hjälp av jämförelse eller "integral-jämförelse" kan seriens egenskaper undersökas.

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \left|{\frac {\sin x}{x^{2}}}\right|\leq {\frac {1}{x^{2}}},\qquad \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,dx<\infty .$

Därav följer det att

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x^{2}}}\right|\,dx<\infty ,$ vilket innebär att serien $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n}{n^{2}}}$ är absolut konvergent