Kroneckerprodukt

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Kroneckerprodukt är en matematisk operation på två matriser, vilket resulterar i en ny, större, matris som enklast uttrycks som en blockmatris. Operationen är uppkallad efter Leopold Kronecker.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Om A är en m × n-matris och B är en p × q-matris så är deras Kroneckerprodukt en mp × nq-matris definierad av:

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Låt A och B vara definierade enligt:

Då deras Kroneckerprodukter blir:


Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Kroneckerprodukten uppfyller följande egenskaper:

om AC och BD är definierade.

Egenvärden[redigera | redigera wikitext]

Om för i = 1, 2, ..., n är egenvärden till A och för j = 1, 2, ..., q är egenvärden till B så är ett egenvärde till deras Kroneckerprodukter för alla kombinationer av i och j och alla egenvärden till Kroneckerprodukterna uppkommer på detta sätt.

Ur detta kan man få ekvationer för matrisspåren och determinanterna för Kroneckerprodukterna:

Kroneckersumma[redigera | redigera wikitext]

En Kroneckersumma av två kvadratiska matriser A och B (n × n respektive m × m) är matrisen definierad av

Kroneckersummans egenvärden är på formen .

Matrisekvationer[redigera | redigera wikitext]

Kroneckerprodukter kan användas för att lösa matrisekvationer av typen AXB = C, då man kan få en lösning genom

som löses som ett vanligt ekvationssystem. vec C är vektoriseringen av matrisen C, C:s kolonner staplade ovanpå varandra i en vektor.

Kroneckersummor används vid lösningen av Sylvesters ekvation, AX + XB = C, då en lösning ges av:

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1991), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0-521-46713-6 .