Lagranges restterm

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Lagranges restterm är resttermen r(x) i en Taylorutveckling som också ges namnet Lagrange form. Med hjälp av uttrycket kan felet också uppskattas. Uttrycket har fått sitt namn från Joseph-Louis Lagrange som var den första hitta ett explicit uttryck för avvikelsen i en Taylorutveckling.

Sats[redigera | redigera wikitext]

Lagranges restterm kan uttryckas enligt följande sats:

Om f är deriverbar till och med minst ordning n+1 på ett öppet intervall I och derivatorna f(n) är kontinuerliga på det stängda intervallet mellan a och x, då är resttermen i f:s Taylorutveckling

,

för något ξ mellan x och a.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Enligt förutsättningarna för en Taylorutveckling kring en punkt a är

där

och

.

Då är för varje fixt x I

Med partiell integration och (t-x) som primitiv till 1 fås

Fortsatt partiell integration (med Rn(a) = 0, Rn'(a)=0,..., Rn(n)(a)=0) ger att

Med Rn(n+1)(x) = f(n+1)(x) fås Rn(x) uttryckt på så kallad integralform där

Eftersom faktorn (x-t)n ej växlar tecken för fixt x och t mellan a och x finns enligt den generaliserade medelvärdessatsen något tal ξ mellan a och x sådant att

vilket är Lagranges form för resttermen.

Uppskattning av restterm[redigera | redigera wikitext]

Med hjälp av Lagranges restterm så kan resten vid en Taylorutveckling uppskattas.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Approximation av ex (blå) med sitt Taylorpolynom Pn av ordning n=1,...,7 centrerad vid x=0 (röd).

Antag att funktionen f(x) = ex ska uppskattas på intervallet [-1,1] med ett fel mindre än 10-5. Exemplet utgår endast från att följande egenskaper hos exponentialfunktionen är kända:

Från dessa egenskaper följer att f(n)(x) = ex för alla n, och särskilt är f(n)(0) = 1. Följaktligen ges Taylorpolynomet av f vid 0 och resttermen på Lagrange form av

där ξ är något tal mellan 0 och x. Eftersom ex är strängt växande enligt (*) ses direkt att ex ≤ 1 för x ∈ [−1, 0] kan användas som övre gräns för resten på intervallet [−1, 0]. För att hitta en gräns på det övre intervallet [0,1] utnyttjas att eξ<ex med 0<ξ<x så att

med Taylorutveckling av ordning två. Nu kan eξ lösas ut för att visa att

genom att minimera nämnaren och maximera täljaren. Kombinerat visar dessa två uppskattningar av eξ att

så den krävda precisionen är säkert uppfylld då

Med hjälp av Lagranges restterm och Taylorutveckling kan vi alltså uppskatta

vilket i decimalform skulle ge e≈2.71828, med fem korrekta decimaler.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]