Lamberts W-funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Graf av W0(x) för -1/ex ≤ 4

Lamberts W-funktion är en matematisk funktion som används för att lösa ekvationer innehållande logaritmer eller exponentialfunktioner som inte kan elimineras algebraiskt. Den betecknas W och definieras som inversen till funktionen

där w är ett komplext tal och ew betecknar exponentialfunktionen.

Flervärdhet[redigera | redigera wikitext]

Funktionen

är inte injektiv på (−∞, 0) och W är därför en flervärd funktion på [−1/e, 0). För reella argument x ≥ −1/e kan man med kravet w ≥ −1 definiera en entydig funktion W0. Denna funktion uppfyller W0(0) = 0 och W0(−1/e) = −1.

Metod för ekvationslösning[redigera | redigera wikitext]

Lamberts W-funktion uppfyller

och kan därför tillämpas genom att skriva om ekvationer på formen där c är konstant, varefter lösningen ges av . Exempelvis kan ekvationen 2t = 5t lösas genom omskrivningen

Specifika ekvationer och värden[redigera | redigera wikitext]

De ekvivalenta ekvationerna och har lösningen

Ekvationen löses av

och det oändliga tornet av potenser

antar vid konvergens värdet

Några specifika värden är

(omegakonstanten)
.

Taylorserie[redigera | redigera wikitext]

Maclaurinserien till Lamberts W-funktion kan beräknas utifrån den implicita ekvationen

genom Lagranges inverteringssats. Resultatet är

som enligt kvottestet har konvergensradien 1/e.

Mer allmänt, för är

Derivata och primitiv funktion[redigera | redigera wikitext]

Derivatan ges av

.

Många uttryck innehållande Lamberts W-funktion kan integreras genom variabelsubstitutionen w = W(x), det vill säga x = w ew. Speciellt gäller

Differentialekvation[redigera | redigera wikitext]

Lamberts W-funktion uppfyller differentialekvationen

Övriga formler[redigera | redigera wikitext]

Tillväxt[redigera | redigera wikitext]

En approximation av för stora är