Inom talteori och harmonisk analys är Landsberg–Schaars relation följande relation för positiva heltal p och q :
1
p
∑
n
=
0
p
−
1
exp
(
2
π
i
n
2
q
p
)
=
e
π
i
/
4
2
q
∑
n
=
0
2
q
−
1
exp
(
−
π
i
n
2
p
2
q
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {p}}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left({\frac {2\pi in^{2}q}{p}}\right)={\frac {e^{\pi i/4}}{\sqrt {2q}}}\sum _{n=0}^{2q-1}\exp \left(-{\frac {\pi in^{2}p}{2q}}\right).}
Även om båda membrum är ändliga summor har man inte lyckats hitta något bevis med ändliga metoder. I allmänhet bevisas den[ 1]
τ
=
2
i
q
/
p
+
ε
{\displaystyle \tau =2iq/p+\varepsilon }
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
Jacobi (som är ett specialfall av Poissons summeringsformel i klassisk harmonisk analys)
∑
n
=
−
∞
+
∞
e
−
π
n
2
τ
=
1
τ
∑
n
=
−
∞
+
∞
e
−
π
n
2
/
τ
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }e^{-\pi n^{2}\tau }={\frac {1}{\sqrt {\tau }}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }e^{-\pi n^{2}/\tau }}
och sedan låta
ε
→
0.
{\displaystyle \varepsilon \to 0.}
Om vi låter q = 1 blir identiteten en formel för kvadratiska Gaussumman modulo p .
Landsberg–Schaars relation kan skrivas i den mer symmetriska formen
1
p
∑
n
=
0
p
−
1
exp
(
π
i
n
2
q
p
)
=
e
π
i
/
4
q
∑
n
=
0
q
−
1
exp
(
−
π
i
n
2
p
q
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {p}}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left({\frac {\pi in^{2}q}{p}}\right)={\frac {e^{\pi i/4}}{\sqrt {q}}}\sum _{n=0}^{q-1}\exp \left(-{\frac {\pi in^{2}p}{q}}\right)}
om vi antar att pq är ett jämnt tal .
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia , Landsberg–Schaar relation , 30 januari 2014 .
^ H. Dym and H.P. McKean. Fourier Series and Integrals . Academic Press, 1972.
