Liealgebra

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Lie-algebra)
Hoppa till: navigering, sök

En liealgebra (namngiven efter Sophus Lie) är ett vektorrum tillsammans med en icke-associativ multiplikation kallad liebracket, som skrivs . När en algebraisk produkt är definierad på vektorrummet, är liebracketen kommutatorn .

Liealgebrans största användningsområde är studiet av geometriska objekt såsom liegrupper och differentierbara mångfalder. Begreppet "liealgebra" infördes av Hermann Weyl under 1930-talet. I äldre texter används begreppet infinitesimal grupp.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En liealgebra är en algebra över en kropp; den är ett vektorrum g över någon kropp K tillsammans med en binär operation [·, ·] : g × g, som kallas liebracket, vilken uppfyller villkoren

(1)  Bilinjäritet:
för alla a, b K och alla x, y, z .
(2)  För alla x gäller:
(3)  Jacobiidentiteten:
för alla x, y, z g.
(4)  Antikommutativitet:
Om bilinjäriteten används för att expandera liebracketen och med användande av villkor (2) går det att visa att för alla element x, y i , vilket implicerar

En liealgebra med villkor (2) utbytt mot antisymmetri kallas för en kvasiliealgebra.

Observera också att multiplikationen som ges av liebracketen inte i allmänhet är associativ, det vill säga, behöver inte vara lika med . Därför är liealgebror inte ringar eller associativa ringar i den vanliga meningen.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Ett konkret exempel på en liealgebra är med vektorprodukt som bracketoperation. Även algebran av n×n-matriser är en liealgebra med kommutatoroperationen som bracketoperation. Mer allmänt gäller att varje associativ algebra blir en liealgebra under kommutatoroperationen.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.