Likformig konvergens

Inom matematiken sägs en följd av funktioner $f_{i}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ konvergera likformigt mot en funktion $f$ på en mängd $I$ om följande villkor uppfylls:

• För varje $\epsilon >0$ finns ett $N\in \mathbb {R}$ så att för alla $x\in I$ gäller att $n>N$ implicerar $|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon$

Detta skall jämföras med villkoret att följden endast konvergerar (punktvis konvergens), som lyder enligt följande:

• För varje $x\in I$ och $\epsilon >0$ så finns ett $N\in \mathbb {R}$ så att $n>N$ medför att$|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon$

Exempel

1. Följden $f_{n}={\frac {\sin x}{n}}$ konvergerar likformigt mot $0$ på $\mathbb {R}$.
2. Följden $f_{n}={\frac {x}{n}}$ konvergerar mot $0$ för alla $x$ i $\mathbb {R}$, men inte likformigt
3. Följden $f_{n}=x^{n}$ konvergerar, men inte likformigt, mot funktionen $g$ på intervallet $[0,1]$ där $g$ är funktionen som har värdet $1$ i punkten $1$ och värdet $0$ annars.

Egenskaper

Likformig konvergens är ett viktigt begrepp i analysens grunder, eftersom det används för att sluta sig till egenskaper hos en funktion $f$ som är gränsvärdet av en följd $f_{i}$ utifrån egenskaper hos funktionerna $f_{i}$. Till exempel gäller att en om en följd av kontinuerliga funktioner konvergerar likformigt mot en funktion, är även denna funktion kontinuerlig. I exempel 3 ovan är varje $f_{n}$ kontinuerlig medan gränsfunktionen, $g$, är diskontinuerlig varför funktionsföljden inte kan konvergera likformigt.

Att en funktionsföljd $(f_{n})_{n=1}^{\infty }$ konvergerar punktvis mot en funktion $f$ är ett krav för likformig konvergens. Den likformiga gränsfunktionen är då nödvändigtvis $f$. Med supremumnormen kan vi säga att en funktionsföljd konvergerar om och endast om:

$\sup _{x\in I}|f_{n}(x)-f(x)|\to 0,\quad n\to \infty$,

vilket är ekvivalent med definitionen ovan, men oftast enklare att räkna med. Processen blir då att först bestämma den punktvisa gränsfunktionen $f$ och sedan kontrollera gränsvärdet:

$\lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=\lim _{n\to \infty }\sup _{t}|f_{n}(t)-f(t)|$

som ska vara $0$ om vi har likformig konvergensen.

Ett annat bra sätt att ta reda på om en funktionsserie konvergerar är med Weierstrass majorantsats.

Gränsövergång under integraltecknet

Om vi har en funktionsföljd $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ som konvergerar likformigt på intervallet [a,b] så gäller det att:

$\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int _{a}^{b}\left(\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\right)dx$

Detta är långt ifrån självklart och därför en viktig motivering till begreppet likformighet

Bevis

Låt oss teckna $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$. Vidare ger oss kravet på likformighet att:

$|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon$ då $a\leq x\leq b$ och $n\geq N$

Vi undersöker vårt påstådda gränsvärde:

$\left|\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx-\int _{a}^{b}f(x)dx\right|=\left|\int _{a}^{b}\left(f_{n}(x)-f(x)\right)dx\right|\leq \left\{{\mbox{ triangelolikheten }}\right\}\leq$

$\leq \int _{a}^{b}|f_{n}(x)-f(x)|dx\leq \epsilon \left(b-a\right)$ då $n\geq N$

Vilket bekräftar vår tes

Funktionsserie

Vi kan även betrakta en funktionsserie $\{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }$där $s_{n}=\sum _{k=1}^{n}u_{k}(x)$ och $s=\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)$ som konvergerar likformigt då $x\in I$ där $I$ är konvergensområdet. Med denna notation fås att:

$\int _{I}\left(\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)\right)dx=\sum _{k=1}^{\infty }\int _{I}u_{k}(x)dx$

Bevis

$\sum _{k=1}^{\infty }\int _{I}u_{k}(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\int _{I}u_{k}(x)dx=\lim _{n\to \infty }\int _{I}\sum _{k=1}^{n}u_{k}(x)dx=\lim _{n\to \infty }\int _{I}s_{n}(x)dx={\mbox{ situationen som ovan }}=$

$=\int _{I}\lim _{n\to \infty }s_{n}(x)dx=\int _{I}\left(\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)\right)dx$

Vilket skulle visas.