Likformig konvergens

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Inom matematiken sägs en följd av funktioner konvergera likformigt mot en funktion på en mängd om följande villkor uppfylls:

  • För varje så finns ett så att för alla så gäller att medför

Detta skall jämföras med villkoret att följden endast konvergerar (punktvis konvergens), som lyder enligt följande:

  • För varje och så finns ett så att medför

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  1. Följden konvergerar likformigt mot .
  2. Följden konvergerar mot för alla i , men inte likformigt
  3. Följden konvergerar, men inte likformigt, mot funktionen på intervallet där är funktionen som har värdet i punkten och värdet annars.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Likformig konvergens är ett viktigt begrepp i analysens grunder, eftersom det används för att sluta sig till egenskaper hos en funktion som är gränsvärdet av en följd utifrån egenskaper hos funktionerna . Till exempel gäller att en om en följd av kontinuerliga funktioner konvergerar likformigt mot en funktion, är även denna funktion kontinuerlig. I exempel 3 ovan är varje kontinuerlig medan gränsfunktionen, , är diskontinuerlig varför funktionsföljden inte kan konvergera likformigt.

Att en funktionsföljd konvergerar punktvis mot en funktion är ett krav för likformig konvergens. Den likformiga gränsfunktionen är då nödvändigtvis . Med supremumnormen kan vi säga att en funktionsföljd konvergerar om och endast om:

,

vilket är ekvivalent med definitionen ovan, men oftast enklare att räkna med. Processen blir då att först bestämma den punktvisa gränsfunktionen och sedan kontrollera gränsvärdet:

som ska vara om vi har likformig konvergensen.

Ett annat bra sätt att ta reda på om en funktionsserie konvergerar är med Weierstrass majorantsats.

Gränsövergång under integraltecknet[redigera | redigera wikitext]

Om vi har en funktionsföljd som konvergerar likformigt på intervallet [a,b] så gäller det att:

Detta är långt ifrån självklart och därför en viktig motivering till begreppet likformighet

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Låt oss teckna . Vidare ger oss kravet på likformighet att:

och

Vi undersöker vårt påstådda gränsvärde:

Vilket bekräftar vår tes

Funktionsserie[redigera | redigera wikitext]

Vi kan även betrakta en funktionsserie där och som konvergerar likformigt då där är konvergensområdet. Med denna notation fås att:

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Vilket skulle visas.