Linjärkombination

Linjärkombinationer är av central betydelse inom linjär algebra och närliggande områden.

Om en vektor $\mathbf {u}$ i ett linjärt rum $\ L$ kan skrivas

$\mathbf {u} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\dots +c_{n}\mathbf {v} _{n}$

där $\ c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}$ är skalärer, är $\mathbf {u}$ en linjärkombination av elementen $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$.

Exempel

Vektorer

En vektor kan delas upp i komponenter med hjälp av en linjärkombination. Till exempel

$\,(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)$

Funktioner

Funktioner kan skrivas om i andra funktioner med hjälp av linjärkombination. Ett par enkla exempel är

• $\ \cos x={\frac {1}{2}}e^{ix}+{\frac {1}{2}}e^{-ix}$
• $\ e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Polynom

Om vi väljer

$\ v_{1}=(x^{2},0,0),v_{2}=(0,x,0),v_{3}=(0,0,1)$

så kan vi skriva

$\ x^{2}-2x+3=(x^{2},0,0)-2(0,x,0)+3(0,0,1)=v_{1}-2v_{2}+3v_{3}$

Linjärt hölje

Mängden av alla linjärkombinationer av en given familj vektorer kallas ett linjärt hölje. Låt $v_{1},\,v_{2},...,v_{n}$ vara vektorer i något vektorrum V och $a_{1},\,a_{2},...,a_{n}$ skalärer i någon skalärkropp, K. Då är det linjära höljet

$\ [v_{1},v_{2},...,v_{n}]=\{a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+...+a_{n}v_{n}:a_{1},a_{2},...,a_{n}\epsilon K\}$.

Se även

• Linjärt beroende
• Linjärt oberoende
• Vektorrum
• Linjär avbildning

Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.