Littles lag

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Littles lag, Littles sats, eller Littles formel är en formel inom köteorin som beskriver sambandet mellan det genomsnittliga antalet kunder i ett kösystem (), det genomsnittliga antalet icke blockerade ankomster till systemet per tidsenhet (), samt den genomsnittliga tiden en kund tillbringar i systemet ().

Littles lag har många tillämpningar inom till exempel telekommunikation och datorteknik. Den till synes triviala formeln bevisades för första gången så sent som 1961[källa behövs] av John Little, som också givit formeln dess namn, men sedan dess har ett par enklare bevis presenterats. Ett enkelt bevis som publicerades av EILON 1970[1], redogörs för nedan.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

[2]

Kunder anländer inom tidsintervallet där

- antal kunder som kommit till systemet (och ej avvisats) i intervallet .
- antalet kunder som lämnat systemet och blivit färdigbetjänade i
antalet kunder i systemet vid tidpunkten t.
total tid som alla kunder tillsammans tillbringat i systemet under intervallet


Eftersom är definierad som antal ankomster till systemet i intervallet kan vi skriva medelantal ankomster per tidsenhet under intervallet som

Medeltid i systemet per kund i intervallet ges av

eller uttryckt i ord

Summan av alla tider kunder har tillbringat i systemet under tidsintervallet , genom antalet ankomster till systemet under


Låt nu vara medelantal kunder i systemet i intervallet . Vi inser att , genom att förlänga med (= 1), kan skrivas

Låter vi nu gå mot oändligheten och förutsätter att gränsvärdena existerar

Antag enligt ovan att

och inför beteckningen

Vi kan då skriva:

vilket är Little's sats.

  1. ^ Körner, U: "Köteori", sidan 50. Studentlitteratur, 2003
  2. ^ Körner, U: "Köteori", sidan 51-52. Studentlitteratur, 2003