Mätbar funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

En mätbar funktion är inom matematiken en speciell sorts funktion mellan mätbara rum som bevarar mätbarheten.

Formell definition[redigera | redigera wikitext]

För en mätbar funktion är den inversa bilden av en mätbar mängd också mätbar.

Låt och vara mätbara rum.

En funktion är mätbar om

för alla .

Man kan också säga att en funktion är -mätbar eller -mätbar.

Notera att man inte behöver ha något mått definierat på rummen för att avgöra om en funktion är mätbar.

Lebesguemätbar funktion[redigera | redigera wikitext]

Om kan man också säga att en mätbar funktion är Lebesguemätbar.

Borelfunktion[redigera | redigera wikitext]

Låt

Om X är ett topologiskt rum, och så kallas en mätbar funktion

för Borelfunktion.

Eftersom Borelmängder är genererad av öppna mängder kan man bevisa att en funktion är en Borelfunktion om och endast om

, och .

är Borelmängder för alla öppna mängder

Alternativt, en funktion är en Borelfunktion om och endast om

är Borelmängder för alla .

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Alla kontinuerliga funktioner i är Lebesguemätbara och Borelfunktioner.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Office-book.svg
Den här artikeln ingår i boken: 
Måtteori 

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • G.B. Folland, Real analysis: Modern techniques and their applications, Second edition, Wiley interscience, (1999)
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.