Mangoldtfunktionen

Inom matematiken är Mangoldtfunktionen en aritmetisk funktion uppkallad efter den tyska matematikern Hans von Mangoldt.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Mangoldtfunktionen, vanligen betecknad med Λ(n), definieras som

\Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\mbox{om }}n=p^{k}{\mbox{ för något primtal }}p{\mbox{ och heltal }}k\geq 1,\\0&{\mbox{annars.}}\end{cases}}

Dess första värden är

\log 1,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,\log 1,\log 7,\log 2,\log 3,...

Den är ett viktigt exempel av an aritmetisk funktion som är varken multiplikativ eller additiv.

Mangoldtfunktionen uppfyller identiteten

\log n=\sum _{d\,\mid \,n}\Lambda (d).\,

Tjebysjovs funktion ψ(x) är relaterad till Mangoldtfunktionen enligt

\psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).

Mangoldtfunktionen är väldigt viktig inom teorin av Dirichletserier, speciellt inom teorin av Riemanns zetafunktion. En formel där den förekommer är

\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}}

för $\Re (s)>1$ . Den logaritmiska derivatan är då

{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.

Dessa är specialfall av en mer allmän relation för Dirichletserier. Om

F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}

för en fullständigt multiplikativ funktion $f(n)$ , och om serien konvergerar för $\Re (s)>\sigma _{0}$ , är för $\Re (s)>\sigma _{0}$

{\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}.

Hardy och Littlewood undersökte serien

F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)e^{-ny}

då $y\to 0^{+}$ . Under antagandet av Riemannhypotesen demonstrerade de att

F(y)={\mathcal {O}}\left({\sqrt {\frac {1}{y}}}\right).

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Von Mangoldt function, 22 januari 2014.