Mangoldtfunktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Mangoldtfunktionen en aritmetisk funktion uppkallad efter den tyska matematikern Hans von Mangoldt.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Mangoldtfunktionen, vanligen betecknad med Λ(n), definieras som

\Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \mbox{om }n=p^k \mbox{ för något primtal } p \mbox{ och heltal } k \ge 1, \\ 0 & \mbox{annars.} \end{cases}

Dess första värden är

\log 1 , \log 2 , \log 3 , \log 2 , \log 5 , \log 1 , \log 7 , \log 2 , \log 3,...

Den är ett viktigt exempel av an aritmetisk funktion som är varken multiplikativ eller additiv.

Mangoldtfunktionen uppfyller identiteten

\log n  = \sum_{d\,\mid\,n} \Lambda(d).\,

Tjebysjovs funktion ψ(x) är relaterad till Mangoldtfunktionen enligt

\psi(x) = \sum_{n\le x} \Lambda(n).

Dirichletserier[redigera | redigera wikitext]

Mangoldtfunktionen är väldigt viktig inom teorin av Dirichletserier, speciellt inom teorin av Riemanns zetafunktion. En formel där den förekommer är

\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}

för \Re(s) > 1. Den logaritmiska derivatan är då

\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.

Dessa är specialfall av en mer allmän relation för Dirichletserier. Om

F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}

för en fullständigt multiplikativ funktion f(n), och om serien konvergerar för \Re(s) > \sigma_0, är för \Re(s) > \sigma_0

\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}.

Exponentiella serier[redigera | redigera wikitext]

Hardy och Littlewood undersökte serien

F(y)=\sum_{n=2}^\infty \left(\Lambda(n)-1\right) e^{-ny}

y\to 0^+. Under antagandet av Riemannhypotesen demonstrerade de att

F(y)=\mathcal{O}\left(\sqrt{\frac{1}{y}}\right).

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Von Mangoldt function, 22 januari 2014.