Markovs olikhet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Markovs olikhet är, inom sannolikhetsteorin, en uppskattning av en sannolikhet med hjälp av ett väntevärde:

Låt vara ett sannolikhetsrum och en stokastisk variabel på detta rum. Om är en mätbar funktion så gäller, för varje tal , följande uppskattning av sannolikheten :


Bevis av Markovs olikhet[redigera | redigera wikitext]

Välj ett godtyckligt tal och definiera mängden

Sannolikhetsmåttet är en mängdfunktion

sigma-algebran . För att vi skall kunna tala om sannolikheten för händelsen A, måste mängden A vara ett element i sigma-algebran . Den sista formuleringen av mängden A visar att vi kan skriva

Mängden är ett element i Borel sigma-algebran , eftersom funktionen

är mätbar.

Den för oss intressanta mängden A kan uttryckas med hjälp av mängden M enligt:

Vi vet att

är en stokastisk variabel, det vill säga: den är en mätbar funktion. Detta innebär att mängden är ett element i sigma-algebran och därmed är sannolikheten

definierad. Eftersom en sigma-algebra är sluten under komplement-bildning är mängden

också ett element i

För att visa Markovs olikhet skriver vi den stokastiska variabeln som en summa av två stokastiska variabler, beroende på om är större än talet eller ej:

där den andra termen är icke-negativ eftersom funktionen h endast antar icke-negativa värden.

Detta innebär att vi har olikheten

På mängden A är den stokastiska variabeln större än, eller lika med, talet , vilket ger uppskattningen

Genom att beräkna väntevärdena av de båda sidorna i olikheten

och utnyttja sambandet

fullbordas beviset av Markovs olikhet:

Tillämpningar av Markovs olikhet[redigera | redigera wikitext]

Ofta är man intresserad av att uppskatta sannolikheter av typen

Markovs olikhet kan då tillämpas med den mätbara funktionen definierad av

(absolutbeloppet av det reella talet x).

Olikheten ger den övre begränsningen

För att denna uppskattning skall vara meningsfull måste väntevärdet vara ändligt: annars får man den oanvändbara olikheten

Om man dessutom vet att väntevärdet är ändligt kan man få en bättre uppskattning av sannolikheten genom att man kan dividera med talet istället för med talet :

Den första likheten kommer av att om x är ett reellt tal och a > 0, så gäller ekvivalensen

Uppskattningen

går under namnet Чебышёв (Tjebyshov) olikhet, och är även den ofta använd vid uppskattning av sannolikheter.

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.