Matrisfaktorisering

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken, specifikt linjär algebra, är en matrisfaktorisering en uppdelning av en matris i flera matriser på ett speciellt sätt. Det finns många sorters matrisfaktoriseringar, med tillämpningar inom olika sorters problem.

Faktoriseringar för att lösa linjära ekvationssystem[redigera | redigera wikitext]

LU-faktorisering[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: LU-faktorisering

För alla kvadratiska matriser A, kan matrisen delas upp i så att för en nedåt triangulär matris L och en uppåt triangulär matris U. Detta kan sedan användas för att snabbare lösa ekvationssystem av typen .

Choleskyfaktorisering[redigera | redigera wikitext]

Choleskyfaktorisering kan ses som ett specialfall av LU-faktorisering; om matrisen A är symmetrisk och positivt definit kan A representeras av för en uppåt triangulär matris U.

QR-faktorisering[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: QR-faktorisering

QR-faktorisering kan göras för alla -matriser A. Matrisen A skrivs som för en ortogonal matris Q och en uppåt triangulär matris R. Då Q är ortogonal () kan ekvationssystemet skrivas , som är lättare att lösa.

Uppdelningar med egenvärden och liknande[redigera | redigera wikitext]

Diagonalisering[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Diagonalisering

Om en -matris A har n egenvärden och lika många egenvektorer (om egenvärdena är distinkta så finns lika många egenvektorer), kan matrisen skrivas på formen där D är en diagonalmatris och T är en matris med egenvektorer. I vissa fall kan T göras till en ortogonal matris U så att . Se även spektralsatsen.

Jordans normalform[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Jordans normalform

För en given kvadratisk matris A blir jordans normalform , där T utgörs av A:s egenvektorer och J är en blockdiagonal matris. Varje block i J är bidiagonalt med A:s egenvärden i diagonalen och antingen ettor eller nollor i superdiagonalen. Diagonalisering är ett specialfall av jordans normalform.

Singulärvärdesuppdelning[redigera | redigera wikitext]

Varje -matris A kan singulärvärdesuppdelas, enligt för unitära matriser U och V och så att D har storleken och endast har värden (dessa värden kallas singulärvärden) i diagonalen. betecknar det hermiteska konjugatet till V.