Matrisfunktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är en matrisfunktion en funktion som avbildar en matris på en matris.

Enkla matrisfunktioner[redigera | redigera wikitext]

En del funktioner på skalärer är lätta att överföra till kvadratiska matriser., till exempel polynomfunktioner. Med matrismultiplikation definierar man

 A^0 = I \,
 A^n = \prod_{k=1}^nA

för att på så sätt kunna hantera polynom av matriser. Men de flesta funktioner är inte lika enkla att överföra till matriser.

Skalärfunktioner överförda till matriser[redigera | redigera wikitext]

Det finns flera aspeketer när man betraktar överföringen av en funktion från skalärer till matriser.

Maclaurinutveckling[redigera | redigera wikitext]

En funktions Maclaurinserie:

f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k

kan även användas på matriser.

Funktioner av diagonaliserbara matriser[redigera | redigera wikitext]

För en diagonalmatris  D kan man genom Maclaurinserien få att:

f(D) =
\begin{pmatrix}
f(d_1) & 0      & \cdots & 0      \\
0      & f(d_2) & \cdots & 0      \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0      & 0      & \cdots & f(d_n)
\end{pmatrix}

Om en matris  A är diagonaliserbar, dvs det finns en matris  T sådan att  A = TDT^{-1} , brukar man använda faktumet att:

 A^2 = (TDT^{-1})^2 = TDT^{-1}TDT^{-1} = TD^2T^{-1} \Rightarrow A^n = TD^nT^{-1}

Maclaurinserien ger då att:

f(A) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}A^k = 
\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}(TDT^{-1})^k = 
\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}TD^kT^{-1} = 
T(\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}D^k)T^{-1} = Tf(D)T^{-1}

Funktioner av matriser på Jordans normalform[redigera | redigera wikitext]

Alla kvadratiska matriser kan skrivas på Jordans normalform, dvs  A = TJT^{-1} där  J är en blockdiagonal matris. På samma sätt som för diagonala matriser får man att:

f(A) = Tf(J)T^{-1}

För att definiera matrisen för  J kan man använda faktumet att  J = D + N för en diagonalmatris  D och en nilpotent matris  N , detta kan göras exempelvis i fallet matrisexponential.

Man kan också betrakta funktioner av Jordanblock, som är de block som matrisen  J har i sin diagonal. Ett Jordanblock  J_p har formen:

J_p = 
\begin{pmatrix}
\lambda & 1       & 0       & \cdots & 0 \\
0       & \lambda & 1       & \cdots & 0 \\
0       & 0       & \lambda & \cdots & 0 \\
\vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots \\
0       & 0       & 0       & 0      & \lambda
\end{pmatrix}

Dvs, en matris med ett tal  \lambda i huvuddiagonalen, med en diagonal av ettor ovanför huvuddiagonalen. Funktionen av ett Jordanblock blir då:

f(J_p) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}J_p^k =
\begin{pmatrix}
\frac{f(\lambda)}{0!} & \frac{f'(\lambda)}{1!} & \frac{f''(\lambda)}{2!} & \cdots & \frac{f^n(\lambda)}{n!} \\
0       & \frac{f(\lambda)}{0!} & \frac{f'(\lambda)}{1!} & \cdots & \frac{f^{(n-1)}(\lambda)}{(n-1)!} \\
0       & 0       & \frac{f(\lambda)}{0!} & \cdots & \frac{f^{(n-2)}(\lambda)}{(n-2)!} \\
\vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots \\
0       & 0       & 0       & 0      & \frac{f(\lambda)}{0!}
\end{pmatrix}

Se även[redigera | redigera wikitext]