Matrisfunktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är en matrisfunktion en funktion som avbildar en matris på en matris.

Enkla matrisfunktioner[redigera | redigera wikitext]

En del funktioner på skalärer är lätta att överföra till kvadratiska matriser., till exempel polynomfunktioner. Med matrismultiplikation definierar man

för att på så sätt kunna hantera polynom av matriser. Men de flesta funktioner är inte lika enkla att överföra till matriser.

Skalärfunktioner överförda till matriser[redigera | redigera wikitext]

Det finns flera aspeketer när man betraktar överföringen av en funktion från skalärer till matriser.

Maclaurinutveckling[redigera | redigera wikitext]

En funktions Maclaurinserie:

kan även användas på matriser.

Funktioner av diagonaliserbara matriser[redigera | redigera wikitext]

För en diagonalmatris kan man genom Maclaurinserien få att:

Om en matris är diagonaliserbar, dvs det finns en matris sådan att , brukar man använda faktumet att:

Maclaurinserien ger då att:

Funktioner av matriser på Jordans normalform[redigera | redigera wikitext]

Alla kvadratiska matriser kan skrivas på Jordans normalform, dvs där är en blockdiagonal matris. På samma sätt som för diagonala matriser får man att:

För att definiera matrisen för kan man använda faktumet att för en diagonalmatris och en nilpotent matris , detta kan göras exempelvis i fallet matrisexponential.

Man kan också betrakta funktioner av Jordanblock, som är de block som matrisen har i sin diagonal. Ett Jordanblock har formen:

Dvs, en matris med ett tal i huvuddiagonalen, med en diagonal av ettor ovanför huvuddiagonalen. Funktionen av ett Jordanblock blir då:

Se även[redigera | redigera wikitext]