Monoid

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Monoid (matematik))
Hoppa till: navigering, sök

En monoid är inom abstrakt algebra ett par (ofta säger man bara och menar hela monoiden), där är en mängd och är en binär operator, vilken lyder följande regler:

  • slutenhet: för alla i , är i (detta följer egentligen direkt ur att * är en binär operator, och behöver inte specificeras separat)
  • neutralt element: det finns ett element i , så att för alla i , .
  • associativitet: * är en associativ operator; det vill säga, för alla i .

Med andra ord är en monoid en semigrupp med ett neutralt element.

En kommutativ monoid eller abelsk monoid är en monoid där operatorn även är kommutativ, dvs.:

  • för alla i .

sägs vara en submonoid till en monoid om är en delmängd till , innehåller det neutrala elementet och för alla i så ligger även i . är då även monoid i sig själv.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Naturliga talen[redigera | redigera wikitext]

De naturliga talen, , med additionsoperatorn bildar en abelsk monoid med det neutrala elementet 0.

Man kan också bilda en monoid med multiplikationsoperatorn , som även den är abelsk, med det neutrala elementet 1.

Strängar[redigera | redigera wikitext]

Mängden av alla ändliga strängar över ett alfabet bildar en monoid med konkatenering som operator och den tomma strängen som neutralt element.

Monoidhomomorfier[redigera | redigera wikitext]

En homomorfi mellan två monoider, och , är en funktion som uppfyller:

där och är neutrala element för respektive .

Om en monoidhomomorfi är bijektiv kallas den för isomorfi, och två monoider som har en monoidisomorfi mellan sig kallas isomorfa.

Se även[redigera | redigera wikitext]